القصة

نظرية فيثاغورس: طريق الحقيقة

نظرية فيثاغورس: طريق الحقيقة



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

فيثاغورس (569-475 قبل الميلاد) معترف به كأول عالم رياضيات في العالم. وُلِد في جزيرة ساموس وكان يُعتقد أنه يدرس مع طاليس وأناكسيماندر (المعروف باسم الفلاسفة الغربيين الأوائل). اعتقد فيثاغورس أن الأرقام ليست فقط الطريق إلى الحقيقة ، بل الحقيقة نفسها. من خلال الرياضيات ، يمكن للمرء أن يحقق الانسجام ويعيش حياة أسهل. يقال إنه اقترح عددًا من النظريات الرياضية لتحقيق هذه الغاية ، ولكن من بين كل هذه النظريات ، لم يتبق سوى نظرية فيثاغورس الشهيرة (Allen ، 1966).

كتب المؤرخ روبنسون: "إن العبارة القائلة بأن فيثاغورس عمل بجهد كبير في الجانب الحسابي للهندسة" يؤكدها التقليد القائل إنه بحث في المشكلة الحسابية لإيجاد مثلثات بها مربع على جانب واحد يساوي مجموع المربعات على الاثنين الآخرين "وفعل ذلك ، في وقت مبكر ، باستخدام الحجارة في صفوف لفهم الحقائق التي كان يحاول نقلها (1968). تنص نظرية فيثاغورس على أن a² + b² = c². يستخدم هذا عندما يكون لدينا مثلث لا نعرف فيه سوى طول ضلعين من أضلاعه الثلاثة. C هو أطول ضلع في الزاوية يُعرف بالوتر. إذا كانت a هي الزاوية المجاورة ، فإن b هي الضلع المقابل. إذا كانت b هي الزاوية المجاورة ، فإن a هو الضلع المقابل. إذا كانت a = 3 ، و b = 4 ، فيمكننا إيجاد قيمة c. 32 + 42 = ج². 9 + 16 = ج². 25 = ج². ج = 5. هذا أحد الاستخدامات الأساسية لنظرية فيثاغورس.

هناك العديد من البراهين على نظرية فيثاغورس ، وأشهرها إثبات إقليدس من الكتاب الأول له. عناصر.

اقتراح: في المثلثات القائمة الزاوية ، يكون المربع الموجود على الوتر مساويًا لمجموع المربعات على الساقين.

بدأ إقليدس بتكوين فيثاغورس ثم رسم خطًا من خلال رسم بياني يوضح المساواة في المساحات. وخلص إلى أن AB / AC = AC / HA ، وبالتالي (AC) ² = (HA) (AB). بما أن AB = AJ ، فإن مساحة المستطيل HAJG تقابل مساحة المربع على الجانب AC. وبالمثل ، AB / BC = BC / BH مكتوب أيضًا كـ (BC) ² = (BH) (AB) = (BH) (BD) وبما أن AB = BD. وهكذا نرى أن مجموع مساحات المستطيلات هي مساحة المربع على الوتر. على حد تعبير ستيفاني موريس ، "هذا يكمل البرهان" (موريس ، 2011).

دليل آخر ، يسهل على الناس فهمه ، يبدأ بمستطيل مقسم إلى ثلاثة مثلثات ، كلها بزوايا قائمة.

المثلث BEA والمثلث BCE يتداخلان مع ACD. بمقارنة المثلث BCE والمثلث ACD ، وبالنظر إلى أضلاعهما المقابلة ، نرى أن AC / BC = AD / EC. منذ AD = BC ، AC / AD = AD / EC. من خلال الضرب ، يتم تقديم هذه المعادلة (AD) ² = (AC) (AE). من المثلثين ABC و ABE ، مع ملاحظة أن AB = CD ، بمقارنة الزوايا القائمة لهذين الشكلين ، فإننا نقدم المعادلة AC / AB = CD / AE. من شكل المستطيل الأصلي ، حصلنا على AB = CD أيضًا على النحو AC / CD = CD / AE ، والذي تمت كتابته كمسألة ضرب كـ (CD) ² = (AC) (AE) وعن طريق إضافة المعادلات التي لدينا حتى الآن ، نحصل على صيغتين جديدتين هما (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE) + (AC) (EC) و (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE + EC). بما أن AC = AE + EC ، نحصل على (CD) ² + (AD) ² = (AC) ². كما هو الحال مع الدليل السابق ، يوضح هذا صحة نظرية فيثاغورس (موريس ، 2011).

في نظرية فيثاغورس ، يعد كل جانب / زاوية معلومة مهمة تساعدنا في تحديد الزوايا / الجوانب الأخرى. آمن فيثاغورس بحقيقة موضوعية وهي الرقم. تسمح نظرية فيثاغورس بمعرفة الحقائق من خلال المعادلات الرياضية أعلاه مما يعني أن هناك حقيقة موضوعية ، خارج أي رأي شخصي ، والتي يمكن إثباتها بالفعل ؛ وهذا ، أخيرًا ، ما أراد فيثاغورس إثباته من خلال عمله.

تاريخ الحب؟

اشترك في النشرة الإخبارية الأسبوعية المجانية عبر البريد الإلكتروني!


نظرية فيثاغورس: طريق الحقيقة - التاريخ

هذا المقال مستوحى من فصل دراسي سأحضره هذا الربع. الفصل هو تاريخ الرياضيات. في هذا الفصل ، نتعلم كيفية تضمين تاريخ الرياضيات في تدريس الرياضيات. تتمثل إحدى طرق تضمين تاريخ الرياضيات في الفصل الدراسي في تضمين مسائل الرياضيات القديمة في تعليمك. طريقة أخرى هي تقديم موضوع جديد مع بعض تاريخ الموضوع. نأمل أن تعطيك هذه المقالة بعض الأفكار حول كيفية تضمين تاريخ نظرية فيثاغورس في تعليمها وتعلمها.

لقد كنا نناقش مواضيع مختلفة تم تطويرها في الحضارات القديمة. نظرية فيثاغورس هي واحدة من هذه المواضيع. هذه النظرية هي واحدة من أقدم النظريات المعروفة للحضارات القديمة. سميت على اسم فيثاغورس ، عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني. تحمل النظرية اسمه على الرغم من أن لدينا أدلة على أن البابليين كانوا يعرفون هذه العلاقة منذ حوالي 1000 عام. بليمبتون 322 ، لوح رياضي بابلي يعود تاريخه إلى عام 1900 قبل الميلاد ، يحتوي على جدول بثلاثيات فيثاغورس. يعطينا Chou-pei ، وهو نص صيني قديم ، دليلًا على أن الصينيين كانوا يعرفون نظرية فيثاغورس قبل سنوات عديدة من اكتشافها وإثباتها بواسطة فيثاغورس أو أحد زملائه في مجتمع فيثاغورس. هذا هو سبب تسمية النظرية باسم فيثاغورس.

عاش فيثاغورس في القرن السادس أو الخامس قبل الميلاد. أسس مدرسة فيثاغورس في كروتونا. كانت هذه المدرسة أكاديمية لدراسة الرياضيات والفلسفة والعلوم الطبيعية. كانت مدرسة فيثاغورس أكثر من مجرد مدرسة ، فقد كانت لها حصص أخوية متماسكة مع الطقوس والاحتفالات السرية & quot (Eves 75). وبسبب هذا ، تم تدمير المدرسة من قبل القوى الديمقراطية الإيطالية. على الرغم من تشتت الأخوة ، إلا أنها استمرت في الوجود لقرنين آخرين. يُنسب إلى فيثاغورس وزملائه العديد من المساهمات في الرياضيات.

فيما يلي تحقيق حول كيفية إثبات نظرية فيثاغورس على مر السنين.

& quot المربع الموجود على وتر المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع المربعات الموجودة على الرجلين & quot (Eves 80-81).


تتحدث هذه النظرية عن مساحة المربعات المبنية على جانبي المثلث الأيمن.

وفقًا لذلك ، نحصل على المساحات التالية للمربعات ، حيث يكون المربعان الأخضر والأزرق على أرجل المثلث الأيمن والمربع الأحمر على الوتر.

مساحة المربع الأخضر هي
مساحة المربع الأزرق
مساحة المربع الأحمر

من نظريتنا ، لدينا العلاقة التالية:

مساحة المربع الأخضر + مساحة المربع الأزرق = مساحة المربع الأحمر أو

كما ذكرت سابقًا ، سميت هذه النظرية باسم فيثاغورس لأنه كان أول من أثبتها. ربما استخدم نوع تشريح من الإثبات مشابه لما يلي في إثبات هذه النظرية.

& quot ؛ لنفترض أن أ ، ب ، ج تشير إلى الأرجل والوتر للمثلث الأيمن المعطى ، واعتبر المربعين في الشكل المصاحب ، ولكل منهما أ + ب ضلعها. يتم تقسيم المربع الأول إلى ست قطع - أي المربعان الموجودان على الساقين وأربعة مثلثات قائمة الزاوية مطابقة للمثلث المعطى. يتم تقسيم المربع الثاني إلى خمس قطع - أي المربع الموجود على الوتر وأربعة مثلثات قائمة الزاوية مطابقة للمثلث المعطى. بطرح يساوي من يساوي ، يتبين الآن أن المربع الموجود على الوتر يساوي مجموع المربعات الموجودة على الساقين & quot (إيف 81).

تأمل الشكل التالي.

يتم تحديد مساحة المربع الأول بواسطة (a + b) ^ 2 أو 4 (1 / 2ab) + a ^ 2 + b ^ 2.
يتم تحديد مساحة المربع الثاني بواسطة (a + b) ^ 2 أو 4 (1 / 2ab) + c ^ 2.
نظرًا لأن المربعات بها مساحات متساوية ، يمكننا أن نساويهما بأخرى ونطرح تساويًا. الحالة (أ + ب) ^ 2 = (أ + ب) ^ 2 ليست مثيرة للاهتمام. لنفعل الحالة الأخرى.
4 (1 / 2ab) + a ^ 2 + b ^ 2 = 4 (1 / 2ab) + c ^ 2
نطرح يساوي من كلا الطرفين لدينا

ختام دليل فيثاغورس.
على مر السنين كان هناك العديد من علماء الرياضيات وغير الرياضيين لتقديم أدلة مختلفة على نظرية فيثاغورس. فيما يلي أدلة من بهاسكارا وأحد رؤسائنا السابقين ، الرئيس جيمس غارفيلد. لقد اخترت هذه البراهين لأن أيًا منها سيكون مناسبًا للاستخدام في أي فصل دراسي.

أول دليل بهاسكارا

دليل Bhaskara هو أيضًا دليل تشريح. إنه مشابه للدليل الذي قدمه فيثاغورس. ولد بهاسكارا في الهند. كان من أهم علماء الرياضيات الهندوس في القرن الثاني الميلادي. استخدم المخططات التالية في إثبات نظرية فيثاغورس.

في المخططات أعلاه ، كل المثلثات الزرقاء متطابقة والمربعات الصفراء متطابقة. أولًا ، علينا إيجاد مساحة المربع الكبير بطريقتين مختلفتين. لنجد أولًا المساحة باستخدام صيغة مساحة المربع.
وهكذا ، أ = ج ^ 2.
الآن ، دعنا نوجد المساحة بإيجاد مساحة كل مكون ثم نجمع المساحات.
مساحة المثلثات الزرقاء = 4 (1/2) أب
مساحة المربع الأصفر = (ب-أ) ^ 2
مساحة المربع الكبير = 4 (1/2) ab + (b-a) ^ 2
= 2ab + b ^ 2 - 2ab + a ^ 2
= ب ^ 2 + أ ^ 2

منذ ذلك الحين ، يحتوي المربع على نفس المنطقة بغض النظر عن كيفية العثور عليها
أ = ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 ،
اختتام الإثبات.


دليل Bhaskara الثاني لنظرية فيثاغورس

في هذا الدليل ، بدأ باسكارا بمثلث قائم الزاوية ثم رسم ارتفاعًا على الوتر. من هنا ، استخدم خصائص التشابه لإثبات النظرية.

أثبت الآن أن المثلثين ABC و CBE متشابهان.
ويترتب على افتراض AA أن المثلث ABC مشابه للمثلث CBE ، حيث أن الزاوية B مطابقة للزاوية B والزاوية C مطابقة للزاوية E. وبالتالي ، نظرًا لأن النسب الداخلية تساوي s / a = a / c.
نضرب كلا الطرفين في ac نحصل على
الشوري = أ ^ 2.

أظهر الآن أن المثلثين ABC و ACE متشابهان.
كما كان من قبل ، يستنتج من افتراض AA أن هذين المثلثين متشابهان. الزاوية A مطابقة للزاوية A والزاوية C مطابقة للزاوية E. وبالتالي ، r / b = b / c. نضرب كلا الطرفين في bc نحصل عليه
أرسي = ب ^ 2.

الآن عندما نجمع النتيجتين نحصل على
sc + rc = a ^ 2 + b ^ 2.
ج (s + r) = أ ^ 2 + ب ^ 2
ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 ،
ختام برهان نظرية فيثاغورس.

دليل غارفيلد

قدم الرئيس العشرون للولايات المتحدة الدليل التالي إلى نظرية فيثاغورس. اكتشف هذا الدليل قبل خمس سنوات من توليه الرئاسة. لقد وصل إلى هذا الدليل في عام 1876 أثناء مناقشة الرياضيات مع بعض أعضاء الكونجرس. تم نشره لاحقًا في New England Journal of Education .. البرهان يعتمد على حساب مساحة شبه المنحرف الأيمن بطريقتين مختلفتين. تتمثل الطريقة الأولى في استخدام صيغة المساحة لشبه منحرف والثانية عن طريق تلخيص مناطق المثلثات الثلاثة القائمة على شكل شبه منحرف. استخدم شبه المنحرف التالي في تطوير برهانه.

أولًا ، علينا إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام صيغة مساحة شبه المنحرف.
A = (1/2) h (b1 + b2) مساحة شبه منحرف

في الرسم البياني أعلاه ، h = a + b ، b1 = a ، و b2 = b.

الآن ، لنجد مساحة شبه المنحرف عن طريق جمع مساحة المثلثات الثلاثة القائمة.
مساحة المثلث الأصفر هي
أ = 1/2 (با).

مساحة المثلث الأحمر هي
أ = 1/2 (ج ^ 2).

مساحة المثلث الأزرق هي
أ = 1/2 (أب).

مجموع مساحة المثلثات هو
1/2 (ba) + 1/2 (c ^ 2) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c ^ 2 + ab) = 1/2 (2ab + c ^ 2).

نظرًا لأن هذه المنطقة تساوي مساحة شبه المنحرف ، فلدينا العلاقة التالية:
(1/2) (أ ^ 2 + 2 أب + ب ^ 2) = (1/2) (2 أب + ج ^ 2).


نظرية فيثاغورس

لماذا تختلف الرياضيات (بطريقة جيدة) عن كل مادة أخرى تعلمتها في المدرسة؟

كلمتين: نظرية فيثاغورس.

دعني أشرح. إن نظرية فيثاغورس في حد ذاتها ليست حقًا السبب في أن الرياضيات فريدة من نوعها ، إنها مجرد مثال أرغب في استخدامه لتوضيح وجهة نظري. اخترت هذه النظرية كمثال لأنها كانت تجربتي أنها واحدة من الأشياء القليلة التي يتذكرها الجميع من فصل الرياضيات ، بغض النظر عن مدى استمتاعهم بالرياضيات أو مدى جودة أدائهم في الدورة التدريبية. ولكن فقط في حالة أن P. تراجعت عن رأيك ، ها هي الخلاصة:

بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية ، فإن مربع الوتر (الضلع المقابل للزاوية اليمنى (90 درجة)) يساوي مجموع مربع الضلعين الآخرين.

تُنسب هذه النتيجة إلى عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس (ومن هنا جاء الاسم الإبداعي للنظرية). عاش فيثاغورس بين القرنين الخامس والسادس قبل الميلاد. وبينما هو في النهاية الشخص الذي يُنسب إليه إثبات النظرية ، هناك دليل على أن نتيجة النظرية كانت معروفة للبابليين قبل 1000 عام من ولادة فيثاغورس. لاحظ هذا الجهاز اللوحي القديم:

واو ، هذا قديم. هنا يمكنك قراءة المزيد عن البابليين ونظرية فيثاغورس.

وجهة نظري هي أنه في أي فئة أخرى تقوم بإجراء نفس العمليات التي كان يؤديها الأشخاص قبل 3000 عام؟ من المؤكد أنك في فصل التاريخ تتعلم عن الحضارات السابقة ، لكنك لا تتعلم كيف تفعل ذلك فعل التاريخ بنفس طريقة تلك الحضارات. الدقة التي يتطلبها التاريخ الحديث كانت غير معروفة إلى حد كبير لهؤلاء القدامى. ربما تقرأ في الأدب كتاب هوميروس & # 8217 الإلياذة و ملحمة، ولكن مرة أخرى ، لم يتم تعليمك الكتابة بنفس أسلوب الشعر الملحمي.

إذن ، لماذا في فصل الرياضيات ، بينما تم إحراز تقدم والتقنية قطعت شوطًا طويلاً بالتأكيد ، ما زلنا نجد أنه من المفيد إجراء الحسابات بالطريقة التي تم إجراؤها منذ آلاف السنين؟

جوابي: لا يوجد شيء يمكن إتقانه ، ولا شيء يمكن تحسينه ، عندما تصادف الحقيقة. الحقيقة الحقيقية.

بالنسبة لنا جميعًا الذين يؤمنون بالاعتقاد المسيحي بأن الله هو الحق ، فإن أي شيء صحيح هو حقيقة عن الله ، والرياضيات هي فرع من فروع علم اللاهوت.

"يجب أن يكون الهدف الرئيسي لجميع تحقيقات العالم الخارجي هو اكتشاف النظام والانسجام العقلاني الذي فرضه عليه الله والذي كشفه لنا بلغة الرياضيات".


نظرية فيثاغورس في الرياضيات البابلية

في هذه المقالة ، ندرس أربعة ألواح بابلية جميعها مرتبطة بنظرية فيثاغورس. من المؤكد أن البابليين كانوا على دراية بنظرية فيثاغورس. ترجمة للوح البابلي المحفوظة في المتحف البريطاني هي كالتالي: -

جميع الألواح التي نرغب في دراستها بالتفصيل تأتي من نفس الفترة تقريبًا ، أي فترة الإمبراطورية البابلية القديمة التي ازدهرت في بلاد ما بين النهرين بين عامي 1900 قبل الميلاد و 1600 قبل الميلاد.


هنا ملف خريطة المنطقة حيث ازدهرت الحضارة البابلية.


يقدم مقال الرياضيات البابلية بعض الخلفية لكيفية نشوء الحضارة والخلفية الرياضية التي ورثوها.

الأجهزة اللوحية الأربعة التي تهمنا هنا سوف نطلق عليها Yale tablet YBC 7289 و Plimpton 322 (كما هو موضح أدناه) و Susa tablet و Tell Dhibayi tablet. دعونا نتحدث قليلاً عن هذه الألواح قبل وصف الرياضيات التي تحتوي عليها.

يعد جهاز Yale اللوحي YBC 7289 الذي نصفه واحدًا من مجموعة كبيرة من الأجهزة اللوحية الموجودة في مجموعة Yale Babylonian بجامعة Yale. يتكون من جهاز لوحي يظهر عليه رسم تخطيطي. الشكل عبارة عن مربع من الضلع 30 مع رسم الأقطار. نوقش اللوح وأهميته لأول مرة في [5] ومؤخراً في [18].


بليمبتون 322 هو الجهاز اللوحي رقم 322 في مجموعة G A Plimpton الموجودة في جامعة كولومبيا.


يمكنك أن ترى من الصورة أن الزاوية العلوية اليسرى من الجهاز اللوحي تالفة حيث توجد شريحة كبيرة من الجهاز اللوحي حول منتصف الجانب الأيمن. تاريخه غير معروف بدقة ولكنه يقع بين 1800 قبل الميلاد و 1650 قبل الميلاد. يُعتقد أنه جزء فقط من جهاز لوحي أكبر ، تم تدمير ما تبقى منه ، وكان يُعتقد في البداية ، كما هو الحال مع العديد من هذه الأجهزة اللوحية ، أن يكون سجلاً للمعاملات التجارية. ومع ذلك ، في [5] أعطى Neugebauer و Sachs تفسيرًا جديدًا ومنذ ذلك الحين كان موضوع قدر كبير من الاهتمام.

تم اكتشاف لوح Susa في بلدة Shush الحالية في منطقة خوزستان الإيرانية. تبعد البلدة حوالي 350 كم عن مدينة بابل القديمة. حدد WK Loftus هذا باعتباره موقعًا أثريًا مهمًا في وقت مبكر من عام 1850 ولكن لم يتم إجراء الحفريات إلا بعد ذلك بكثير. يبحث اللوح المعين الذي يثير اهتمامنا هنا في كيفية حساب نصف قطر الدائرة عبر رؤوس مثلث متساوي الساقين.

أخيرًا ، كان لوح تل الضبائي واحدًا من حوالي 500 لوح عثر عليه علماء الآثار بالقرب من بغداد في عام 1962. يتعلق معظمها بإدارة مدينة قديمة ازدهرت في عهد إبالبيل الثاني من إشونا ويعود تاريخها إلى حوالي عام 1750. اللوح المعين الذي يهمنا لا يتعلق بالإدارة ولكنه يمثل مشكلة هندسية تطلب أبعاد مستطيل معروف مساحته وقطره.

قبل النظر إلى الرياضيات الموجودة في هذه الألواح الأربعة ، يجب أن نتحدث قليلاً عن أهميتها في فهم نطاق الرياضيات البابلية. أولاً ، يجب أن نكون حريصين على عدم قراءة الأفكار الرياضية المبكرة التي يمكننا رؤيتها بوضوح اليوم والتي لم تكن أبدًا في ذهن المؤلف. على العكس من ذلك ، يجب أن نكون حريصين على عدم التقليل من أهمية الرياضيات لمجرد أنها أنتجت من قبل علماء الرياضيات الذين فكروا بشكل مختلف تمامًا عن علماء الرياضيات اليوم. كتعليق أخير على ما تخبرنا به هذه الألواح الأربعة عن الرياضيات البابلية ، يجب أن نكون حريصين على إدراك أن جميع الإنجازات الرياضية للبابليين تقريبًا ، حتى لو تم تسجيلها جميعًا على ألواح طينية ، ستكون قد ضاعت وحتى لو كانت هذه الأربعة قد يُنظر إليه على أنه مهم بشكل خاص بين أولئك الذين بقوا على قيد الحياة ، فقد لا يمثلون أفضل ما في الرياضيات البابلية.

لا توجد مشكلة في فهم ما يدور حوله Yale tablet YBC 7289.


هنا ملف رسم تخطيطي للكمبيوتر اللوحي ييل


يوجد عليها رسم تخطيطي لمربع به 30 على جانب واحد ، والأقطار مرسوم عليها وقرب المركز مكتوب 1 و 24 و 51 و 10 و 42 و 25 و 35. بالطبع هذه الأرقام مكتوبة بالأرقام البابلية حتى الأساس 60. انظر مقالتنا عن الأرقام البابلية. الآن الأرقام البابلية غامضة دائمًا ولا توجد إشارة إلى أين ينتهي الجزء الصحيح ويبدأ الجزء الكسري. بافتراض أن الرقم الأول هو 1 24 ، 51 ، 10 ثم تحويل هذا إلى عدد عشري يعطينا 1. 414212963 بينما √ 2 = 1. 414213562. بحساب 30 × [1 24 ، 51 ، 10] نحصل على 42 25 ، 35 وهو الرقم الثاني. يمكن إيجاد قطر مربع الضلع 30 بضرب 30 بالتقريب ل √ 2.

يُظهر هذا فهماً جيداً لنظرية فيثاغورس.ومع ذلك ، فإن السؤال الأكثر أهمية هو كيف وجد البابليون هذا التقريب الجيد بشكل ملحوظ لـ 2. يعتقد العديد من المؤلفين ، على سبيل المثال ، انظر [2] و [4] ، أن البابليين استخدموا طريقة مكافئة لطريقة هيرون. الاقتراح هو أنهم بدأوا بتخمين ، على سبيل المثال x x x. ثم وجدوا e = x 2 - 2 e = x ^ <2> - 2 e = x 2 - 2 وهو الخطأ. ثم

هذا أمر ممكن بالتأكيد ويضيف فهم البابليين للتربيعية بعض الوزن إلى الادعاء. ومع ذلك ، لا يوجد دليل على استخدام الخوارزمية في أي حالات أخرى ويجب ألا يظل استخدامها هنا أكثر من احتمال بعيد إلى حد ما. هل لي [EFR] باقتراح بديل. أنتج البابليون جداول المربعات ، في الواقع ، تم بناء فهمهم الكامل للضرب في المربعات المستديرة ، لذلك ربما كان النهج الأكثر وضوحًا بالنسبة لهم هو إجراء تخمينين ، أحدهما مرتفع والآخر منخفض مثل أ أ وب ب. خذ متوسطهم a + b 2 Large frac 2 2 a + b وقم بتربيعها. إذا كان المربع أكبر من 2 ، فاستبدل b b b بهذا الحد الأفضل ، بينما إذا كان المربع أقل من 2 ، فاستبدل a a بـ a + b 2 Large frac 2 2 أ + ب. تواصل مع الخوارزمية.

الآن هذا بالتأكيد يتطلب العديد من الخطوات للوصول إلى التقريب الجنسي 1 24 ، 51 ، 10. في الواقع ، بدءًا من أ = 1 أ = 1 أ = 1 وب = 2 ب = 2 ب = 2 ، يستغرق الأمر 19 خطوة كما يوضح الجدول أدناه: ومع ذلك ، لم يكن البابليون خائفين من الحوسبة وربما كانوا مستعدين للاستمرار هذا الحساب المباشر إلى أن كانت الإجابة صحيحة للمكان الستيني الثالث.


بعد ذلك ننظر مرة أخرى إلى بليمبتون 322


يحتوي الجهاز اللوحي على أربعة أعمدة بها 15 صفًا. العمود الأخير هو أبسط ما يمكن فهمه لأنه يعطي رقم الصف وبالتالي يحتوي على 1 ، 2 ، 3 ،. ، 15 . الحقيقة اللافتة للنظر التي أشار إليها Neugebauer و Sachs في [5] هي أنه في كل صف مربع الرقم c c c في العمود 3 ناقص مربع الرقم b b b في العمود 2 هو مربع كامل ، على سبيل المثال h h h.

إذن فالجدول عبارة عن قائمة من ثلاثة أضعاف عدد صحيح فيثاغورس. الآن هذا ليس صحيحًا تمامًا لأن Neugebauer و Sachs يعتقدان أن الكاتب ارتكب أربعة أخطاء نسخ ، اثنان في كل عمود وهذا التفسير مطلوب لجعل القاعدة تعمل. يُنظر إلى الأخطاء بسهولة على أنها أخطاء حقيقية ، ومع ذلك ، على سبيل المثال ، تم نسخ 1 ، 8 بواسطة الناسخ كـ 9 ، 1.

اقترح العديد من المؤرخين (انظر على سبيل المثال [2]) أن العمود 1 متصل بوظيفة القاطع. ومع ذلك ، كما يعلق يوسف [4]: ​​-

قدم زيمان ملاحظة رائعة. لقد أشار إلى أنه إذا استخدم البابليون الصيغ h = 2 mn ، b = m 2 - n 2 ، c = m 2 + n 2 h = 2mn ، b = m ^ <2> -n ^ <2> ، c = m ^ <2> + n ^ <2> h = 2 mn، b = m 2 - n 2، c = m 2 + n 2 لتوليد ثلاثيات فيثاغورس ثم هناك 16 ثلاثية ترضي n ≤ 60، 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 60، 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 6 0، 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 °، و tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 tan ^ <2> t = h ^ <2> / b ^ <2> tan 2 t = h 2 / b 2 لها توسع ستيني محدود (وهو ما يعادل m و n و bm و n و bm و n و b التي تحتوي على 2 و 3 و 5 مثل قواسمهم الأولية الوحيدة). الآن 15 من 16 ثلاثية فيثاغورس مرضية لشروط زيمان تظهر في Plimpton 322. هل هي أقدم نظرية تصنيف رياضي معروفة؟ على الرغم من أنني لا أصدق أن زيمان كان على حق تمامًا ، إلا أنني أشعر أن تفسيره يجب أن يكون على المسار الصحيح.

لإعطاء مناقشة عادلة لـ Plimpton 322 ، يجب أن نضيف أنه ليس كل المؤرخين يتفقون على أن هذا اللوح يتعلق بثلاثيات فيثاغورس. على سبيل المثال Exarchakos ، في [17] ، تدعي أن الجهاز اللوحي متصل بحل المعادلات التربيعية وليس له علاقة بثلاثيات فيثاغورس: -

يوضح الكمبيوتر اللوحي Susa مشكلة حول مثلث متساوي الساقين بأضلاعه 50 و 50 و 60. تكمن المشكلة في إيجاد نصف قطر الدائرة من خلال الرؤوس الثلاثة.


فيثاغورس & # x27 نظرية أخرى: تاريخ قصير للنباتية

في الآونة الأخيرة ، في برنامجها الأسبوعي Heritage Radio Network ، "A Taste of the Past" ، أجرت ليندا بيلاسيو مقابلة مع Rynn Berry ، وهو مؤلف ومستشار تاريخي لجمعية أمريكا الشمالية النباتية.

كان بيري نباتيًا منذ أن تعلم ، في سن المراهقة ، أن الحيوانات تعاني من القلق قبل الذبح. منذ ذلك الحين ، تطورت نباتاته إلى أسلوب حياة نباتي ، مما يعني أنه يستبعد جميع المنتجات الحيوانية ، بما في ذلك العسل ، ليس فقط من نظامه الغذائي ولكن أيضًا من ملابسه.

ناقش بيري مع Pellacio مسار النظام النباتي ، والذي كان جزءًا موثقًا من التاريخ منذ القرن السادس قبل الميلاد. وفقًا لبيري ، تم تأسيس أول مجتمع نباتي من قبل عالم الرياضيات اليوناني القديم ، فيثاغورس (لاعب رئيسي في هندسة الصف التاسع). لم يقم فيثاغورس بإزالة الغموض عن المثلثات فحسب ، بل نشر أيضًا إنجيل بوذا ، المعاصر لفيثاغورس الذي ألهمه شخصيًا لممارسة النباتية اللاعنفية. بالنسبة لفيثاغورس ، كان الامتناع عن تناول اللحوم متجذرًا في قيمه الروحية ، فلن تصبح التغذية عاملاً في النظام الغذائي حتى وقت لاحق في التاريخ. في الواقع ، كان النظام الغذائي الخالي من أي منتجات حيوانية يسمى في الواقع نظام "فيثاغورس" الغذائي حتى عام 1944 ، عندما صاغ دونالد واتسون ، مؤسس الجمعية النباتية ، كلمة نباتي. تم توثيق النظام النباتي لأول مرة في عام 1848 ، على الأرجح من قبل باحث من جامعة أكسفورد.

كتب بيري عدة كتب عن النباتيين ، بما في ذلك مشاهير النباتيين. ومن بين أبرز الذين يمتنعون عن تناول اللحوم ، بنجامين فرانكلين ، الذي وصفه بيري بأنه "الأب المؤسس الوحيد الذي لديه ميل للنباتيين" ، وكذلك جورج برنارد شو ، الذي اشتهر بإخباره من قبل فريق من الأطباء أنه بحاجة إلى أكل اللحوم أو الجوع. لم يتضور جوعًا فحسب ، بل عاش حتى سن 94 عامًا.

النباتيون الآخرون في القرن التاسع عشر لديهم تراث من أسمائهم يدخلون قاموس الأغذية الصناعي اليوم. ابتكر جون هارفي كيلوج ، وهو السبتيين ومخترع رقائق الذرة ، الحبوب كخيار بديل للإفطار بدون لحم. ابتكر سيلفستر جراهام ، الوزير المشيخي الذي دعا إلى الاعتدال والحبوب الكاملة والوجبات الغذائية النباتية ، بسكويت يعتقد أنه منتج متفوق من الناحية التغذوية. يمكن لعشاق S'mores أن يطمئنوا إلى أن الإصدار الحديث من علاج نيران المخيم المحبوب ، جراهام تكسير ، يشبه إلى حد ما النموذج الأولي.

يعد مسار النظام النباتي مثيرًا للاهتمام بشكل خاص ، خاصة في أمريكا ، حيث سجل التاريخ نهضته في عدة مناسبات. النباتيون الأوائل الذين ذكرتهم في هذا المقال استلهموا جميعًا من دياناتهم للتشبث بنظام غذائي خالٍ من اللحوم. قد تكون أهدافهم متباينة ، لكن الدافع المشترك كان الشعور الروحي بالوضوح الذي كان يُعتقد أنه يتحقق من خلال تناول نظام غذائي خالٍ من اللحم. لم تتبن أمريكا النظام النباتي بأسلوب علماني حتى القرن العشرين. لقد تبنى جيل طفرة المواليد ، الذي حفزه عنف الستينيات واستخف به بسبب تهديدات الكوارث البيئية الوشيكة ، نظامًا غذائيًا مستوحى من البيئة والرغبة في الاقتراب من الأرض. بحلول الوقت الذي كان فيه كتاب فرانسيس مور لابيه الأيقوني ، النظام الغذائي لكوكب صغير (1971) ، وجدت النباتية طريقها إلى الوعي الجماعي لأمريكا.

اليوم نشهد عودة نباتية. من ناحية ، يعبد المجتمع التغذية وأصبح النظام الغذائي الخالي من اللحوم نقطة دخول مقبولة إلى نمط حياة صحي. حتى الأشكال المتطرفة للنباتيين ، مثل الحمية النباتية والوجبات الغذائية النيئة ، بدأت في التخلص من وصمة العار التي تلحق بهم. كان ويليام جيفرسون كلينتون ، الذي لم يكن الأب المؤسس ولكنه رئيس سابق محبوب ، صريحًا بشأن انتقاله الجذري من نظام غذائي يعتمد على الوجبات السريعة إلى نظام غذائي نباتي صارم. سيشير رين بيري إلى كلينتون على أنها "نباتي في الشريان التاجي" ، أي شخص ينتقل إلى نظام غذائي نباتي بناءً على توصية طبيبه بعد تعرضه لنوبة قلبية أو إجراءً جراحيًا كبيرًا. من المحتمل أن يكون مصدر إلهام من رئيسهم السابق ، أو ربما مجرد ركوب موجة الاتجاه الحالية ، فقد استمع الشعب الأمريكي إلى سلسلة من الوصايا من المشاهير الذين أقسموا بأنظمتهم الغذائية الجديدة الخالية من اللحوم. نادرًا ما تكون الأخلاق هي الدافع ، وقد أدى الدافع الذي يركز على التغذية إلى خلق مقطع عرضي من اللاعبين في زاوية "أريد لحمي" و "أريد أن أشعر بالرضا حيال ذلك أيضًا". هذا العمل الجديد المتمثل في الرغبة في البقاء بصحة جيدة دون التضحية بالرغبة الشديدة في التذوق قد ألهم حركات مثل "Meatless Mondayays" ، والتي تشجع على الالتزام بتناول طعام أقل في السلسلة الغذائية دون الاضطرار إلى الذهاب إلى الديك الرومي البارد. أو لحم الديك الرومي البارد ، حسب مقتضى الحال.

يمكن أن نلاحظ أن الإخلاص الأخلاقي لنظام غذائي خالٍ من القسوة قد خفف وشُعِب من خلال إعادة تحويل التركيز. نعم ، ما زلنا نهتم بالحيوانات ، ولكن الآن بعد أن علمنا أنه يمكننا استهلاك الكائنات التي عاشت حياة صحية وسعيدة ، لم يعد علينا أن نشدد على بقاء دمائها على أيدينا. من المهم أن نلاحظ أن خمسة بالمائة فقط من الأمريكيين يعتبرون أنفسهم نباتيين وبالنسبة لغالبية السكان الذين يتناولون اللحوم ، هناك طرق أخرى للتأثير على البيئة وصحة الفرد بطريقة قوية وإيجابية. الدفع من أجل تنوع السلالات في إمدادات اللحوم لدينا وشراء الماشية التي يتم تربيتها بشكل مستدام فقط هي خيارات فعالة ومهمة يجب على آكلي اللحوم أخذها في الاعتبار. النباتية في حد ذاتها معقدة بطبيعتها ، فالعلاقات العميقة بين صناعات الثروة الحيوانية والألبان تثير جدلاً كبيرًا عند اختيار استبعاد اللحوم من نظام غذائي ولكن ليس الجبن والحليب. بغض النظر عن الاختيارات التي تتخذها في نظامك الغذائي ، فكلما زاد ارتباط النقاط بين الصحة والرحمة والبيئة ، زادت تغذية نظامك الغذائي لعقلك وجسمك.

استمع إلى المقابلة الأصلية بين Linda Pellacio و Rynn Berry هنا.

لمعرفة المزيد عن Rynn Berry وكتبه عن النباتيين ، انقر هنا.


نظرية فيثاغورس: طريق الحقيقة - التاريخ

دعونا نبني مربعات على جانبي المثلث القائم. ثم تدعي نظرية فيثاغورس أن مجموع (مساحات) مربعين صغيرين يساوي (مساحة) المربع الكبير.

من الناحية الجبرية ، أ 2 + ب 2 = ص 2 أين ج هو الوتر بينما أ و ب هي أضلاع المثلث.

النظرية ذات أهمية أساسية في الهندسة الإقليدية حيث تعمل كأساس لتعريف المسافة بين نقطتين. إنه أمر أساسي ومعروف جدًا ، وأعتقد أن أي شخص درس الهندسة في المدرسة الثانوية لا يمكنه إلا أن يتذكرها لفترة طويلة بعد نسيان مفاهيم الرياضيات الأخرى تمامًا.

أخطط لتقديم العديد من البراهين الهندسية لنظرية فيثاغورس. تم توفير قوة دافعة لهذه الصفحة من خلال برنامج Java الصغير الرائع الذي كتبه Jim Morey. هذا يشكل الدليل الأول في هذه الصفحة. تمت كتابة أحد تطبيقات Java البرمجية الأولى لتوضيح برهان إقليدي آخر. في الوقت الحاضر ، هناك العديد من الرسوم التوضيحية لجافا للعديد من البراهين ، ولكن الغالبية تم تقديمها بتنسيق HTML عادي مع رسوم بيانية بسيطة.

ملاحظة

تم اكتشاف بيان النظرية على لوح بابلي حوالي 1900-1600 قبل الميلاد. سواء كان فيثاغورس (حوالي 560 - 480 قبل الميلاد) أو أي شخص آخر من مدرسته هو أول من اكتشف أن إثباته لا يمكن المطالبة به بأي درجة من المصداقية. إقليدس (300 قبل الميلاد) عناصر قم بتزويد المرجع القياسي الأول ، ولاحقًا ، في الهندسة. يتبع تطبيق جيم موري الصغير الاقتراح I.47 (الكتاب الأول ، الاقتراح 47) ، مقترح VI.31. النظرية قابلة للانعكاس مما يعني أن المثلث الذي تحقق أضلاعه أ 2 + ب 2 = ج 2 قائم الزاوية. كان إقليدس أول (I.48) من ذكر وإثبات هذه الحقيقة.

دبليو دنهام [الكون الرياضي] يستشهد بكتاب اقتراح فيثاغورس من قبل أستاذ في أوائل القرن العشرين إليشا سكوت لوميس. الكتاب عبارة عن مجموعة من 367 دليلًا على نظرية فيثاغورس وأعيد نشره بواسطة NCTM في عام 1968.

تعمم نظرية فيثاغورس على المساحات ذات الأبعاد الأعلى. بعض التعميمات بعيدة كل البعد عن الوضوح.

جاء لاري هوين بتعميم مستوي مرتبط بقانون جيب التمام ولكنه أقصر ويبدو أجمل.

تلعب النظرية التي تؤدي صياغتها إلى فكرة المسافة الإقليدية والمسافات الإقليدية وهيلبرت ، دورًا مهمًا في الرياضيات ككل. لقد بدأت في جمع الحقائق الرياضية التي قد يكون إثباتها مبنيًا على نظرية فيثاغورس.

(EWD) علامة (أ + ب - ز) = علامة (أ 2 + ب 2 - ج 2) ،

حيث العلامة (t) هي دالة الإشارة:

يتم التعامل مع النظرية المكرسة لهذه الصفحة على أنها "إذا وجد Dijkstra بجدارة (EWD) أكثر تناسقًا وأكثر إفادة. يُعتبر غياب الكميات المتجاوزة (p) ميزة إضافية.

الدليل رقم 2

نبدأ بمربعين له جوانب أ و ب، على التوالي ، جنبا إلى جنب. المساحة الإجمالية للمربعين هي أ 2 + ب 2 .

لم يبدأ البناء بمثلث ، لكننا الآن نرسم اثنين منهم ، كلا الجانبين أ و ب والوتر ج. لاحظ أنه تمت إزالة المقطع المشترك بين المربعين. في هذه المرحلة ، لدينا مثلثين وشكل غريب الشكل.

كخطوة أخيرة ، قمنا بتدوير المثلثات 90 o ، كل منها حول قمة القمة. يتم تدوير المثلث الأيمن في اتجاه عقارب الساعة بينما يتم تدوير المثلث الأيسر عكس اتجاه عقارب الساعة. من الواضح أن الشكل الناتج هو مربع به جانب ج ومساحة ج 2 .

(تم العثور على نوع مختلف من هذا الدليل في مخطوطة موجودة من قبل Th & acircbit ابن قرة الموجودة في مكتبة متحف آية صوفيا في تركيا ، مسجلة تحت الرقم 4832. [R. Shloming، Th & acircbit ابن قرة ونظرية فيثاغورس ، مدرس الرياضيات 63 ( تشرين الأول (أكتوبر) 1970) ص 519-528] مخطط ابن قرة مشابه لما في البرهان رقم 27 والدليل نفسه يبدأ بملاحظة وجود أربعة مثلثات قائمة بذاتها تحيط بشكل غريب الشكل كما في البرهان الحالي رقم 2. أربعة مثلثات تتوافق في أزواج مع مواضع البداية والنهاية للمثلثات المستديرة في البرهان الحالي. ويمكن ملاحظة هذا التكوين نفسه في البرهان بالفسيفساء.)

إثبات # 3

نبدأ الآن بأربع نسخ من نفس المثلث. تم تدوير ثلاثة منها 90 درجة و 180 درجة و 270 درجة على التوالي. لكل منها منطقة أب/ 2. دعنا نجمعهم معًا دون أي استدارة إضافية بحيث يشكلون مربعًا مع ضلع ج.

المربع به فتحة مربعة مع الجانب الذي يلخص مساحته و 2أب، مساحة المثلثات الأربعة (4 & middotأب/ 2) ، نحصل عليه

دليل # 4

الطريقة الرابعة تبدأ بنفس المثلثات الأربعة ، إلا أنها هذه المرة تتحد لتشكل مربعًا مع الضلع (أ + ب) وثقب بالجانب ج. يمكننا حساب مساحة المربع الكبير بطريقتين. هكذا

(أ + ب) 2 = 4 & middotأب/2 + ج 2

تبسيط ما نحصل عليه من الهوية المطلوبة.

دليل # 5

هذا الدليل الذي اكتشفه الرئيس ج. غارفيلد في عام 1876 [باباس] ، هو اختلاف عن السابق. لكن هذه المرة لا نرسم أي مربعات على الإطلاق. المفتاح الآن هو صيغة مساحة شبه منحرف - نصف مجموع القواعد مضروبًا في الارتفاع - (أ + ب) / 2 & middot (أ + ب). بالنظر إلى الصورة بطريقة أخرى ، يمكن أيضًا حساب ذلك كمجموع مناطق المثلثات الثلاثة - أب/2 + أب/2 + جو middotج/ 2. كما كان من قبل ، ينتج عن التبسيط أ 2 + ب 2 = ص 2 .

يمكن دمج نسختين من نفس شبه المنحرف بطريقتين من خلال ربطهما على طول الجانب المائل من شبه المنحرف. يؤدي أحدهما إلى الدليل رقم 4 والآخر إلى الدليل رقم 52.

دليل # 6

نبدأ بالمثلث الأصلي ، المشار إليه الآن ABC ، ​​ونحتاج فقط إلى بناء إضافي واحد - الارتفاع AD. تتشابه المثلثات ABC و BDA و ADC مما يؤدي إلى نسبتين:

AB / BC = BD / AB و AC / BC = DC / AC.

مكتوبة بطريقة أخرى تصبح هذه

AB & middotAB = BD & middotBC و AC & middotAC = DC & middotBC

في مراسلة خاصة ، اقترحت الدكتورة فرانس داكار ، ليوبليانا ، سلوفينيا ، أن الرسم البياني الموجود على اليمين قد يخدم غرضين. أولاً ، يعطي تمثيلاً رسوميًا إضافيًا للدليل الحالي رقم 6. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يسلط الضوء على علاقة الأخير بالإثبات رقم 1.

إثبات # 7

الدليل التالي مأخوذ حرفيا من إقليدس السادس 31 في ترجمته بواسطة السير توماس ل. هيث. يحللها ج.

في المثلثات القائمة الزاوية ، يكون الشكل الموجود على الجانب المقابل للزاوية القائمة مساويًا للأشكال المتشابهة والموصوفة بالمثل على الجوانب التي تحتوي على الزاوية القائمة.

لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية له الزاوية BAC اليمنى ، أقول إن الشكل على BC يساوي الأرقام المماثلة والموصوفة بالمثل على BA ، AC.

دع م يتم رسمه بشكل عمودي. بعد ذلك ، في المثلث القائم الزاوية ABC ، ​​تم رسم AD من الزاوية القائمة عند A عموديًا على القاعدة BC ، والمثلثات ABD و ADC المتجاورتان مع العمودي متشابهة مع كل من ABC ومع بعضها البعض [VI.8) ].

ونظرًا لأن ABC مشابه لـ ABD ، لذلك ، مثل CB هو BA وكذلك AB إلى BD [VI.Def.1].

ونظرًا لأن الخطوط الثلاثة المستقيمة متناسبة ، فالأول على الخط الثالث ، كذلك هو الشكل الموجود في الأول إلى الشكل المماثل والموصوف بالمثل في الثاني [VI.19]. لذلك ، كما هو CB هو BD ، وكذلك الرقم على CB إلى الرقم المماثل والموصوف بالمثل في BA.

للسبب نفسه أيضًا ، مثل BC بالنسبة للقرص المضغوط ، فإن الرقم الموجود على BC هو الرقم الموجود في CA بحيث ، بالإضافة إلى ذلك ، مثل BC هو BD ، DC ، وكذلك الرقم الموجود على BC إلى الأرقام المماثلة والموصوفة بشكل مشابه على بكالوريوس ، AC.

لكن BC يساوي BD ، DC ، وبالتالي فإن الرقم على BC يساوي أيضًا الأرقام المماثلة والموضحة بشكل مشابه على BA ، AC.

اعتراف

حصلت على تقدير حقيقي لهذا الدليل فقط بعد قراءة كتاب بوليا الذي ذكرته أعلاه. آمل أن يساعدك برنامج Java الصغير في الوصول إلى الجزء السفلي من هذا الدليل الرائع. لاحظ أن العبارة التي تم إثباتها بالفعل أكثر عمومية من النظرية كما هي معروفة بشكل عام.

دليل # 8

باللعب مع التطبيق الصغير الذي يوضح برهان إقليدس (# 7) ، اكتشفت برهانًا آخر ، رغم أنه قبيح ، إلا أنه يخدم الغرض مع ذلك.

وهكذا نبدأ بالمثلث 1 نضيف ثلاثة أخرى بالطريقة المقترحة في الدليل رقم 7: مثلثات متشابهة وموصوفة بالمثل 2 و 3 و 4. باشتقاق نسبتين كما تم في الدليل رقم 6 نصل إلى أطوال الأضلاع كما هو موضح يصور في الرسم التخطيطي. الآن ، من الممكن النظر إلى الشكل النهائي بطريقتين:

  • باتحاد المستطيل (1 + 3 + 4) والمثلث 2 ، أو
  • باتحاد المستطيل (1 + 2) ومثلثين 3 و 4.

ab / c & middot (a 2 + b 2) / c + ab / 2 = ab + (ab / c & middot a 2 / c + ab / c & middot b 2 / c) / 2

أب / ج و middot (أ 2 + ب 2) / ج / 2 = أب / 2 ، أو (أ 2 + ب 2) / ج 2 = 1

ملاحظة

بعد فوات الأوان ، هناك دليل أبسط. انظر إلى المستطيل (1 + 3 + 4). ضلعها الطويل ، من ناحية ، هو ج عادي ، بينما ، من ناحية أخرى ، هو 2 / ج + ب 2 / ج ولدينا نفس المتطابقة مرة أخرى.

دليل # 9

دليل آخر ينبع من إعادة ترتيب القطع الصلبة ، مثل الدليل رقم 2. يجعل الجزء الجبري من الدليل رقم 4 زائدًا تمامًا. لا يوجد شيء يمكن للمرء أن يضيفه إلى الصورتين.

(خالص شكري لمونتي فيستر على الإذن الكريم لاستخدام الرسومات.)

دليل # 10

جاء هذا والأدلة الثلاثة التالية من [PWW].

يمكن إعادة ترتيب المثلثات في الدليل رقم 3 بطريقة أخرى تجعل هوية فيثاغورس واضحة.

(أرسل لي مونتي فيستر رسمًا بيانيًا أكثر وضوحًا على اليمين).

دليل # 11

ارسم دائرة نصف قطرها ج ومثلثًا قائمًا ضلعه أ وب كما هو موضح. في هذه الحالة ، يمكن للمرء تطبيق أي من الحقائق القليلة المعروفة. على سبيل المثال ، في الرسم التخطيطي ، تشكل النقاط الثلاث F و G و H الموجودة على الدائرة مثلثًا قائمًا آخر بارتفاع FK للطول a. يتم تقسيم الوتر GH في النسبة (c + b) / (c-b). لذلك ، كما في الدليل # 6 ، نحصل على 2 = (c + b) (c-b) = c 2 - b 2.

دليل # 12

هذا الدليل هو تباين في رقم 1 ، أحد براهين إقليدس الأصلية. في الجزأين 1 و 2 و 3 ، يتم قص المربعين الصغيرين تجاه بعضهما البعض بحيث تظل المساحة المظللة الإجمالية دون تغيير (وتساوي 2 + ب 2.) في الجزء 3 ، طول الجزء الرأسي من الجزء المظلل حدود المنطقة هي بالضبط c لأن المثلثين المتبقيين عبارة عن نسخ من المثلث الأصلي. هذا يعني أنه يمكن للمرء أن ينزلق على المنطقة المظللة كما في الجزء 4. من هنا تتبع نظرية فيثاغورس بسهولة.

(يمكن العثور على هذا الدليل في H. Eves ، في الدوائر الرياضية، MAA، 2002، pp.74-75).

دليل # 13

يوجد في الرسم التخطيطي عدة مثلثات متشابهة (abc ، a'b'c ، a'x ، b'y.) لدينا على التوالي

y / b = b '/ c، x / a = a' / c، cy + cx = aa '+ bb'.

وأخيرًا ، cc '= aa' + bb '. هذا يشبه إلى حد كبير الدليل رقم 6 ولكن النتيجة أكثر عمومية.

دليل # 14

يبدأ هذا الإثبات من قبل HE Dudeney (1917) بتقطيع المربع الموجود على الجانب الأكبر إلى أربعة أجزاء يتم دمجها بعد ذلك مع الجزء الأصغر لتشكيل المربع المبني على الوتر.

جريج فريدريكسون من جامعة بوردو ، مؤلف كتاب منير حقًا ، التشريح: الطائرة والهوى (مطبعة جامعة كامبريدج ، 1997) ، أشار إلى عدم الدقة التاريخية:

لقد نسبت الدليل رقم 14 إلى سعادة. Dudeney (1917) ، ولكن تم نشره بالفعل في وقت سابق (1873) بواسطة Henry Perigal ، سمسار البورصة في لندن. ظهر دليل تشريح مختلف قبل ذلك بكثير ، قدمه عالم الرياضيات / عالم الفلك العربي ثابت في القرن العاشر. لقد قمت بتضمين تفاصيل حول هذه وغيرها من أدلة التشريح (بما في ذلك أدلة قانون التمام) في كتابي الأخير "التشريح: الطائرة والهوى" ، مطبعة جامعة كامبريدج ، 1997. قد تستمتع بصفحة الويب للكتاب:

بيل كاسيلمان من جامعة كولومبيا البريطانية يثني على معلومات جريج. جاء منجم من البراهين بدون كلمات بواسطة RB Nelsen (MAA ، 1993).

دليل # 15

هذا الدليل الرائع من قبل K.O. Friedrichs هو تعميم للسابق من قبل Dudeney. إنه عام بالفعل. إنه عام بمعنى أنه يمكن اشتقاق مجموعة لا حصر لها من البراهين الهندسية المحددة منه. (ينسب روجر نيلسن [PWWII ، ص 3] هذا الدليل إلى عنيريزي العرب (حوالي 900 م))

دليل # 16

يُنسب هذا الدليل إلى ليوناردو دافنشي (1452-1519) [إيفيس]. الأشكال الرباعية ABHI و JHBC و ADGC و EDGF كلها متساوية. (هذا يتبع من ملاحظة أن الزاوية ABH تساوي 45 o. وذلك لأن ABC زاوية قائمة ، وبالتالي يقع مركز O لمربع ACJI على الدائرة التي تحيط بالمثلث ABC. من الواضح أن الزاوية ABO تساوي 45 o.) الآن ، منطقة (ABHI) + منطقة (JHBC) = منطقة (ADGC) + منطقة (EDGF). يحتوي كل مجموع على منطقتين من المثلثات تساوي ABC (IJH أو BEF) مع إزالة أي منها يحصل على نظرية فيثاغورس.

قام ديفيد كينج بتعديل الحجة إلى حد ما

أطوال أضلاع الأشكال السداسية متطابقة. الزوايا عند P (الزاوية اليمنى + الزاوية بين a & c) متطابقة. الزوايا عند Q (الزاوية اليمنى + الزاوية بين b & c) متطابقة. لذلك جميع الأشكال السداسية الأربعة متطابقة.

دليل # 17

يظهر هذا الدليل في الكتاب الرابع من المجموعة الرياضية بقلم بابوس الإسكندرية (حوالي 300 م) [Eves، باباس]. إنه يعمم نظرية فيثاغورس بطريقتين: لا يشترط أن يكون المثلث ABC قائم الزاوية والأشكال المبنية على جوانبه عبارة عن متوازي أضلاع عشوائية بدلاً من مربعات. وبالتالي بناء متوازي الأضلاع CADE و CBFG على الجانبين AC و ، على التوالي ، BC. دع DE و FG يلتقيان في H وارسم AL و BM بالتوازي مع HC. ثم المنطقة (ABML) = المنطقة (CADE) + المنطقة (CBFG). في الواقع ، مع التحول الهائل المستخدم بالفعل في البراهين رقم 1 و 12 ، المنطقة (CADE) = المنطقة (CAUH) = المنطقة (SLAR) وكذلك المنطقة (CBFG) = المنطقة (CBVH) = المنطقة (SMBR). الآن ، فقط اجمع ما يساوي.

دليل # 18

هذا تعميم آخر لا يتطلب زوايا قائمة. إنه بسبب ث & acircbit ابن قرة (836-901) [Eves]. إذا كانت الزوايا CAB و AC'B و AB'C متساوية ، فإن المثلثات ABC و AC'B و AB'C متشابهة بالفعل. وهكذا لدينا والتي تؤدي على الفور إلى الهوية المطلوبة. إذا كانت الزاوية A صحيحة ، فإن النظرية تختزل إلى عرض فيثاغورس والدليل رقم 6.

دليل # 19

هذا الدليل هو اختلاف في # 6. على الجانب الصغير AB ، أضف مثلثًا قائم الزاوية ABD مشابهًا لـ ABC. ثم ، بطبيعة الحال ، DBC مشابه للاثنين الآخرين. من AD = AB 2 / AC و BD = AB & middotBC / AC نشتق القسمة على AB / AC تؤدي إلى

دليل # 20

هذا هو تقاطع بين # 7 و # 19. قم ببناء مثلثات ABC 'و BCA' و ACB 'على غرار ABC ، ​​كما هو موضح في الرسم التخطيطي. من خلال البناء ، بالإضافة إلى ذلك ، فإن المثلثين ABB 'و ABC' متساويان أيضًا. وهكذا نستنتج أنه من تشابه المثلثات نحصل على ما كان قبل B'C = AC 2 / BC و BC '= AC & middotAB / BC. جمع كل ذلك معًا ينتج عنه نفس النتيجة

دليل # 21

فيما يلي مقتطف من رسالة كتبها الدكتور سكوت برودي من كلية ماونت سيناي للطب بنيويورك الذي أرسل لي دليلين على النظرية الصحيحة وتعميمها على قانون جيب التمام:

الدليل الأول الذي أنقله من المناقشة الممتازة في سلسلة مشروع الرياضيات ، بناءً على نظرية بطليموس حول الأشكال الرباعية المدرجة في دائرة: بالنسبة لمثل هذه الأشكال الرباعية ، مجموع حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتقابلة ، المأخوذ في أزواج ، حاصل ضرب أطوال القطرين. في حالة المستطيل ، يتم تقليل هذا على الفور إلى 2 + b 2 = c 2.

دليل # 22

هذا هو الدليل الثاني من رسالة الدكتور سكوت برودي.

نأخذ نظريات "قوة النقطة" كما هو معروف: إذا تم أخذ نقطة إلى الخارج إلى دائرة ، ومن النقطة يتم رسم جزء مماس للدائرة ويتم رسم جزء آخر (قاطع) يقطع الدائرة إلى قسمين نقاط مميزة ، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب المسافة على طول القاطع من النقطة الخارجية إلى نقطة التقاطع الأقرب مع الدائرة والمسافة على طول القاطع إلى نقطة التقاطع الأبعد مع دائرة.

لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية ، مع الزاوية اليمنى عند C. ارسم الارتفاع من C إلى الوتر ، دع P تشير إلى سفح هذا الارتفاع. بعد ذلك ، بما أن CPB صحيحة ، فإن النقطة P تقع على الدائرة التي قطرها BC ، وبما أن CPA صحيحة ، فإن النقطة P تقع على الدائرة التي يبلغ قطرها AC. لذلك فإن تقاطع الدائرتين على الساقين BC و CA للمثلث الأيمن الأصلي يتطابق مع P وعلى وجه الخصوص يقع على AB. للدلالة به x و ذ أطوال مقاطع BP و PA ، على التوالي ، وكالعادة دعونا أ ، ب ، ج تشير إلى أطوال أضلاع ABC مقابل الزوايا A و B و C على التوالي. ثم، x + ذ = ج.

بما أن الزاوية C قائمة ، فإن BC مماس للدائرة التي قطرها CA ، وتنص نظرية القوة على ذلك أ 2 = xc وبالمثل ، فإن AC مماس للدائرة التي قطرها BC ، و ب 2 = نعم. مضيفا نجد أ 2 + ب 2 = xc + نعم = ج 2 ، Q.E.D.

أنشأ الدكتور Brodie أيضًا ملف Geometer's SketchPad لتوضيح هذا الدليل.

دليل # 23

دليل آخر يعتمد على صيغة Heron التي استخدمتها بالفعل في Proof # 7 لعرض مناطق المثلث. هذه طريقة معقدة إلى حد ما لإثبات نظرية فيثاغورس التي ، مع ذلك ، تنعكس على مركزية النظرية في هندسة المستوى.

دليل # 24

[Swetz] ينسب هذا الدليل إلى أبو الحسن وأسركن بن قرة مرو وأسركن الحراني (826-901). إنه ثاني البراهين التي قدمها ث & حلق بن قرة. الأول هو في الأساس رقم 2 أعلاه.

البرهان يشبه الجزء 3 من الدليل رقم 12. ABC = FLC = FMC = BED = AGH = FGE. من ناحية ، مساحة الشكل ABDFH تساوي AC 2 + BC 2 + منطقة (ABC + FMC + FLC). من ناحية أخرى ، المنطقة (ABDFH) = AB 2 + منطقة (BED + FGE + AGH).

هذا هو البديل "غير المطوي" للإثبات أعلاه. من الواضح أن منطقتين خماسيتين - الأحمر والأزرق - متساويتان وتتركان نفس المنطقة عند إزالة ثلاثة مثلثات متساوية من كل منهما.

تم نشر الدليل بواسطة مونتي فيستر ، مؤلف كتاب الفذ جنارلي ماث قرص مضغوط.

دليل # 25

قدم BFYanney (1903، [Swetz]) دليلاً باستخدام "الحجة المنزلقة" المستخدمة أيضًا في الإثباتين # 1 و # 12. على التوالي ، تتساوى مناطق LMOA و LKCA و ACDE (وهي AC 2) مثل مناطق HMOB و HKCB و HKDF (والتي هي BC 2). BC = DF. وهكذا فإن AC 2 + BC 2 = مساحة (LMOA) + منطقة (HMOB) = مساحة (ABHL) = AB 2.

دليل # 26

هذا الدليل الذي اكتشفته في الموقع الذي يحتفظ به بيل كاسيلمان حيث يتم تقديمه بواسطة برنامج جافا الصغير.

مع كل البراهين المذكورة أعلاه ، يجب أن يكون هذا واحدًا بسيطًا. المثلثات المتشابهة كما في البراهين رقم 6 أو 13.

دليل # 27

يمكن إعادة ترتيب نفس القطع الموجودة في الدليل رقم 26 بطريقة أخرى.

غالبًا ما يُعزى هذا التشريح إلى عالم الرياضيات الهولندي في القرن السابع عشر فرانس فان شوتن. [فريدريكسون ، ص. 35] يعتبره متغيرًا مفصليًا لابن قرة ، انظر الملاحظة الموجودة بين قوسين بعد الدليل رقم 2. أشارت الدكتورة فرانس داكار من سلوفينيا إلى أن هذا الرسم البياني نفسه يمكن شرحه بسهولة بالفسيفساء في الدليل رقم 15. في واقع الأمر ، قد يتم تفسيره بشكل أفضل بواسطة فسيفساء مختلفة. (أشكر دوجلاس روجرز على وضع هذا الأمر في نصابها الصحيح بالنسبة لي).

دليل # 28

لقد أرسل لي ميليسا يركض من MathForum رابطًا إلى دليل على نظرية فيثاغورس من قبل ليو هوي (القرن الثالث الميلادي). يتولى إدارة الصفحة دونالد بي فاغنر ، خبير تاريخ العلوم والتكنولوجيا في الصين. الرسم البياني عبارة عن إعادة بناء من وصف مكتوب لخوارزمية بواسطة Liu Hui (القرن الثالث الميلادي). لمزيد من التفاصيل تتم إحالتك إلى الصفحة الأصلية.

دليل # 29

يستحق الدليل الميكانيكي للنظرية صفحة خاصة به.

وثيقة الصلة بهذا الدليل هي صفحة أدلة هندسية إضافية لنظرية فيثاغورس بقلم سكوت برودي

دليل # 30

هذا الدليل وجدته في تكملة R.Nelsen البراهين بدون كلمات II. (يرجع ذلك إلى Poo-sung Park وتم نشره في الأصل في مجلة الرياضيات، ديسمبر 1999). ابدأ بأحد أضلاع المثلث القائم ، وقم ببناء 4 مثلثات متساوية الساقين متطابقة مع وتر أي اثنين متعامدين ورؤوس متعاقبتين بعيدًا عن المثلث المحدد. يجب أن يتطابق وتر المثلث الأول (باللون الأحمر في الرسم التخطيطي) مع أحد الأضلاع.

تشكل قمم المثلثات متساوية الساقين مربعًا يساوي ضلعه وتر المثلث المعطى. تقطع الوتر في هذه المثلثات جوانب المربع عند نقاط المنتصف. بحيث يبدو أن هناك 4 أزواج من المثلثات المتساوية (أحد الأزواج باللون الأخضر). أحد المثلثات في الزوج موجود داخل المربع ، والآخر في الخارج. دع أضلاع المثلث الأصلي تكون أ ، ب ، ج (وتر المثلث). إذا كان المثلث الأول متساوي الساقين مبنيًا على الجانب ب ، فلكل منها مساحة ب 2/4. نحصل

إليك رسم توضيحي ديناميكي ومخطط آخر يوضح كيفية تشريح مربعين أصغر وإعادة ترتيبهما في المربع الكبير.

دليل # 31

بالنظر إلى اليمين ABC ، ​​دعنا ، كالعادة ، نشير إلى أطوال الأضلاع BC و AC وطول الوتر في صورة a و b و c على التوالي. نصب المربعات على الجانبين BC و AC كما في الشكل. وفقًا لـ SAS ، المثلثات ABC و PCQ متساويتان ، بحيث تكون M هي نقطة منتصف الوتر. قم بالإشارة إلى تقاطع MC و PQ كـ R. دعنا نظهر ذلك

متوسط ​​الوتر يساوي نصف الأخير. لذلك ، CMB متساوي الساقين ولكن لدينا أيضًا من هنا ويتبع ذلك أن الزاوية CRP صحيحة ، أو

مع هذه المقدمات ننتقل إلى المثلثات MCP و MCQ. نقوم بتقييم مناطقهم بطريقتين مختلفتين:

يد واحدة ، الارتفاع من M إلى الكمبيوتر يساوي AC / 2 = b / 2. ولكن أيضًا ، من ناحية أخرى ، وبالمثل ، وكذلك

يمكننا تلخيص الهويتين: أو

(أتوجه بالشكر إلى فلور فان لاموين الذي لفت انتباهي إلى هذا الدليل فيثاغورس - مجلة الرياضيات الهولندية لأطفال المدارس - في عدد ديسمبر 1998 ، في مقال بقلم برونو إرنست. يُنسب الدليل إلى طالبة في المدرسة الثانوية الأمريكية من عام 1938 باسم آن كونديت.)

دليل # 32

لنفترض أن ABC و DEF يكونان مثلثين أيمن متطابقين بحيث يقع B على DE و A و F و C و E على خط واحد. ، ،. من الواضح ، حساب مساحة ADE بطريقتين مختلفتين.

منطقة (ADE) = AB & middotDE / 2 = c 2/2 وأيضًا يمكن العثور على CE من مثلثات متشابهة BCE و DFE: وضع الأشياء معًا نحصل عليها

(هذا الدليل هو تبسيط لأحد البراهين التي قدمتها ميشيل واتكينز ، الطالبة بجامعة شمال فلوريدا ، والتي ظهرت في طيف الرياضيات 1997/98، v30، n3، 53-54.)

لاحظ دوجلاس روجرز أنه يمكن معالجة نفس الرسم البياني بشكل مختلف:

يمكن ترتيب الدليل 32 بشكل أكبر قليلاً ، على غرار البراهين اللاحقة المضافة مؤخرًا ، وبالتالي تجنب المثلثات المماثلة.

بالطبع ، ADE مثلث في القاعدة DE بارتفاع AB ، وبالتالي مساحة cc / 2.

ولكن يمكن تشريحه إلى المثلث FEB والرباعي ADBF. الأول له قاعدة FE والارتفاع BC ، لذا فإن المنطقة aa / 2. ويتكون الأخير بدوره من مثلثين ظهر إلى ظهر على قاعدة تحديد الاتجاه مع ارتفاعات مجمعة AC ، لذلك المنطقة ب / 2. يرى تشريح بديل أن المثلث ADE يتكون من المثلث ADC والمثلث CDE ، والذي يتكون بدوره من مثلثين متتاليين على القاعدة BC ، مع ارتفاعات مشتركة EF.

صاحبت الإثباتان التاليتان الرسالة التالية من شاي سيمونسون ، الأستاذ في كلية ستونهيل في كامبريدج ، ماساتشوستس:

كنت أستمتع بالاطلاع على موقعك ، وتعثرت في القائمة الطويلة لأدلة نظرية Pyth.

في مقرري الدراسي "تاريخ الإبداع الرياضي" أستخدم دليلين يستخدمان دائرة منقوشة في مثلث قائم الزاوية. يستخدم كل برهان مخططين ، وكل منهما عبارة عن عرض هندسي مختلف لإثبات جبري واحد اكتشفته منذ سنوات عديدة ونشرته في رسالة إلى مدرس الرياضيات.

لا يتطلب البرهان الهندسيان أي كلمات ، لكنهما يتطلبان القليل من التفكير.

دليل # 33

دليل # 34

دليل # 35

الدومينو المتصدع - وهو إثبات لماريو باسيك (المعروف أيضًا باسم باكوسلاف جويزدالسكي) - يتطلب أيضًا بعض التفكير.

الإثبات المرسل عبر البريد الإلكتروني مصحوبًا بالرسالة التالية:

هذا الدليل الجديد غير العادي والأنيق للغاية على الأرجح النظرية الأساسية في الرياضيات (الفائز باليد فيما يتعلق بعدد البراهين 367؟) يتفوق على جميع العلوم المعروفة بما في ذلك الصينية وجيمس أ. ) ، لأنها مباشرة ، لا تتضمن أي صيغ وحتى الأطفال في سن ما قبل المدرسة يمكنهم الحصول عليها. من المحتمل جدًا أن يكون مطابقًا للنسخة الأصلية المفقودة - لكن من يستطيع إثبات ذلك؟ ليس في موسوعة غينيس للأرقام القياسية حتى الآن!

قد تكون الطريقة التي يتم بها دمج القطع أصلية. التشريح نفسه معروف جيدًا (انظر البراهين 26 و 27) وهو موصوف في كتاب فريدريكسون ، ص. 29. لوحظ هناك أن B. Brodie (1884) لاحظ أن تشريح مثل هذا ينطبق أيضًا على مستطيلات مماثلة. التشريح هو أيضًا مثال خاص لإثبات التراكب بواسطة K.O. فريدريكس.

دليل # 36

هذا الدليل يرجع إلى J.E B & oumlttcher وقد نقله Nelsen (البراهين بدون كلمات II، ص. 6).

أعتقد أن كسر هذا الدليل بدون كلمات هو تمرين جيد لفصل الهندسة بالمدارس المتوسطة أو الثانوية.

دليل # 37

تم وضع بريمج بواسطة David King يوضح هذا الدليل في صفحة منفصلة.

دليل # 38

أبلغني ديفيد كينج هذا الدليل أيضًا. تتحد المربعات والمثلثات 2 لإنتاج اثنين من الأشكال السداسية ذات المساحة المتساوية ، والتي ربما تم إنشاؤها كما في الدليل رقم 9. ومع ذلك ، فإن كلا الشكلين السداسيين يكسوان الطائرة بالفسيفساء.

لكل مسدس بالفسيفساء الأيسر يوجد مسدس في التغطية بالفسيفساء اليمنى. كلا الفسيفساء لهما نفس البنية الشبكية التي يتم توضيحها بواسطة التطبيق الصغير. تم إثبات نظرية فيثاغورس بعد إزالة مثلثين من كل من الأشكال السداسية.

دليل # 39

(بقلم جيه باري ساتون ، جريدة الرياضيات ، العدد 86 ، العدد 505 ، مارس 2002 ، ص 72.)

دعونا في ABC ، ​​الزاوية C = 90 o. كالعادة ، حدد النقطتين D و E على AB بحيث يكون ذلك

من خلال البناء ، تقع C على الدائرة التي مركزها A ونصف قطرها b. تشير الزاوية DCE إلى قطرها وبالتالي فهي صحيحة: ويترتب على ذلك أن ACE متساوي الساقين ،

تشارك المثلثات DBC و EBC DBC. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المثلثات DBC و EBC متشابهة. لدينا أو

أ 2 = ص 2 - ب 2 ،
أ 2 + ب 2 = ص 2.

ويذكر الرسم بأحد برهان ث & acircbit ابن قرة. لكن الاثنين مختلفان تمامًا.

دليل # 40

هذا الكتاب بقلم مايكل هاردي من جامعة توليدو ونُشر في The Mathematical Intelligencer في عام 1988. يجب أن يؤخذ مع حبة ملح.

لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية مع الوتر BC. دلالة ثم ، عندما يتحرك C على طول الخط AC ، تتغير x وكذلك y. افترض أن x تغيرت بمقدار صغير dx. ثم تغيرت y بمقدار صغير دى. يمكن اعتبار المثلث CDE صحيحًا تقريبًا. بافتراض أنها تشترك في زاوية واحدة (D) مع المثلث ABD ، وبالتالي فهي تشبه الأخيرة. هذا يؤدي إلى نسبة أو معادلة تفاضلية (قابلة للفصل)

والتي بعد التكامل تعطي y 2 - x 2 = const. يتم تحديد قيمة الثابت من الشرط الأولي لـ منذ للجميع x.

من السهل التعامل مع هذا الدليل. ماذا يعني أن يكون المثلث؟ يمكنني تقديم الشرح التالي. المثلثات ABC و ABD صحيحة من خلال البناء. لدينا ، وكذلك نظرية فيثاغورس. من حيث x و y ، تظهر النظرية كـ

س 2 + أ 2 = ص 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

الذي ، بعد الطرح ، يعطي

بالنسبة إلى dx و dy الصغير ، يكون dx 2 و dy 2 أصغر حجمًا وقد يتم إهماله ، مما يؤدي إلى القيمة التقريبية

الحيلة في المقالة القصيرة لمايكل هي تخطي مسألة التقريب. لكن هل يمكن حقًا تبرير الاشتقاق دون الاعتماد على نظرية فيثاغورس في المقام الأول؟ بغض النظر ، أجد أنه من دواعي سروري أن أضع المعادلة في كل مكان في هذا السياق الهندسي.

دليل # 41

تم إرسال هذه الرسالة إليّ من قبل جيفري مارغريف من شركة Lucent Technologies. يبدو أنه رقم 8 ، ولكن تم التوصل إليه بطريقة مختلفة. قم بإنشاء 3 نسخ متدرجة من المثلث مع الجوانب أ ، ب ، ج بضربها في أ ، ب ، ج بالتناوب.وبجمعها معًا ، فإن المثلثات الثلاثة المتشابهة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة تشكل مستطيلًا يكون جانبه العلوي ، في حين أن الجانب السفلي هو c 2. (مما يدل أيضًا على أنه ربما تم الانتهاء من رقم 8 بطريقة أقصر.)

أيضًا ، يؤدي اختيار مثلثين فقط إلى متغير من الإثبات # 6 و # 19:

في هذا الشكل يظهر الدليل في [Birkhoff، p. 92].

تم إرسال متغير آخر يمكن أن يكون مرتبطًا بالرقم 8 بواسطة James F:

هذا الأخير لديه توأم مع أ و ب يتبادلان أدوارهما.

دليل # 42

يعتمد الدليل على نفس الرسم البياني مثل رقم 33 [Pritchard، p. 226-227].

من الواضح أن مساحة المثلث هي rp ، حيث r هي دائرة نصف قطر المثلث. من المخطط ، يتم حساب الوتر أو منطقة المثلث بطريقتين:

(الدليل يرجع إلى جاك أوليفر ، وقد نُشر في الأصل في الجريدة الرياضية 81 (مارس 1997) ، ص 117-118.)

دليل # 43

طبق نظرية قوة النقطة على الرسم البياني أعلاه حيث يعمل الجانب أ كظل لدائرة نصف قطرها ب: النتيجة التالية على الفور.

(التكوين هنا هو في الأساس نفس التكوين الموجود في الدليل رقم 39. يمكن اعتبار استدعاء نظرية قوة النقطة كاختصار للحجة في الدليل رقم 39.)

دليل # 44

تم تقديم الدليل التالي المتعلق بالرقم 39 بواسطة Adam Rose (23 سبتمبر 2004).

ابدأ بمثلثين متطابقين لليمين: ABC و AFE ، ونقطة المنتصف لـ BE و CF. ضع علامة D على AB و G عند امتداد AF ، من هذا القبيل

(لمزيد من الرموز ، يرجى الرجوع إلى الرسم البياني أعلاه.) BCD هو متساوي الساقين. لذلك ، بما أن الزاوية C صحيحة ،

نظرًا لأن AFE خارجي لـ EFG ، لكن EFG هي أيضًا متساوية الساقين. هكذا

لدينا الآن خطان ، CD و EG ، يتقاطعان مع CG مع زاويتين داخليتين متبادلتين ، ACD و AGE ، متساويتين. لذلك ، CD || EG. المثلثات ACD و AGE متشابهة ، و AD / AC = AE / AG:

وتليها نظرية فيثاغورس.

دليل # 45

هذا الدليل يرجع إلى دوغلاس روجرز الذي جاء به في سياق تحقيقه في تاريخ الرياضيات الصينية. يحتوي الاثنان أيضًا على إصدارات عبر الإنترنت:

الدليل هو اختلاف في # 33 و # 34 و # 42. العائدات البرهان في خطوتين. أولا ، كما يمكن ملاحظته من

حيث d هو قطر الدائرة المنقوشة في مثلث قائم الزاوية مع الجانبين أ وب والوتر ج. وبناءً على ذلك ، فإن إعادة ترتيب القطع بطريقتين يوفر دليلًا آخر بدون كلمات نظرية فيثاغورس:

دليل # 46

يرجع هذا الدليل إلى تاو تونج (مدرس الرياضيات ، فبراير 1994 ، تأملات القارئ). لقد علمت بذلك من خلال الخدمات الجيدة لدوغلاس روجرز الذي لفت انتباهي أيضًا Proofs # 47 و # 48 و # 49. في الروح ، البرهان يشبه البرهان # 32.

لنفترض أن ABC و BED يكونان مثلثين متساويين ، بحيث يكون E على AB. سنقوم بتقييم مساحة ABD بطريقتين:

باستخدام الرموز الموضحة في الرسم البياني الذي نحصل عليه ، يمكن العثور عليها من خلال ملاحظة تشابه المثلثات BFC و ABC:

تتحد الصيغتان بسهولة في هوية فيثاغورس.

دليل # 47

هذا الدليل الذي يرجع إلى طالب في المدرسة الثانوية جون كاوامورا تم تقريره من قبل كريس ديفيس ، مدرس الهندسة في مدرسة هيد رويس ، أوكلاند ، كاليفورنيا (مدرس الرياضيات ، أبريل 2005 ، ص 518.)

التكوين مطابق تقريبًا لتكوين Proof # 46 ، لكن هذه المرة نحن مهتمون بمنطقة الشكل الرباعي ABCD. كل من قطريه المتعامدين له طول c ، بحيث مساحته تساوي c 2/2. من ناحية أخرى،

ينتج عن الضرب في 2 النتيجة المرجوة.

دليل # 48

(دبليو جيه دوبس ، الجريدة الرياضية ، 8 (1915-1916) ، ص 268.)

في الرسم التخطيطي ، مثلثان قائم الزاوية - ABC و ADE - متساويان و E يقع على AB. كما في برهان الرئيس غارفيلد ، نقوم بتقييم منطقة شبه منحرف ABCD بطريقتين:

حيث ، كما في الدليل رقم 47 ، c & middotc هو حاصل ضرب قطري عمودي من AECD الرباعي. من ناحية أخرى،

بدمج الاثنين نحصل على ج 2/2 = أ 2/2 + ب 2/2 ، أو بعد الضرب في 2 ،

دليل # 49

في الدليل السابق يمكننا المضي قدمًا بشكل مختلف قليلاً. أكمل مربعًا على جانبي AB و AD للمثلثين. مساحتها ، من ناحية ، ب 2 ، ومن ناحية أخرى ،

والتي ترقى إلى نفس الهوية كما كانت من قبل.

لاحظ دوجلاس روجرز ، الذي لاحظ العلاقة بين البراهين 46-49 أيضًا ، أنه يمكن رسم مربع على الأرجل الأصغر للمثلثين إذا تم رسم المثلث الثاني في الموضع "السفلي" كما في البرهان 46 و 47. في هذا الحالة ، سنقيم مساحة الشكل الرباعي ABCD مرة أخرى بطريقتين. بالإشارة إلى الرسم البياني الثاني أعلاه ،

وأشار أيضًا إلى أنه من الممكن التفكير في أن أحد المثلثات القائمة ينزلق من موقعه في البرهان رقم 46 إلى موضعه في الدليل رقم 48 بحيث تنزلق ساقه القصيرة على طول الساق الطويلة للمثلث الآخر. يوجد في أي موضع وسيط شكل رباعي له أقطار متساوية ومتعامدة ، بحيث يمكن بناء براهين مماثلة لما سبق في جميع المواضع. يظل المثلث دائمًا داخل مربع الضلع b - طول الضلع الطويل للمثلثين. الآن ، يمكننا أيضًا تخيل شريحة المثلث ABC داخل هذا المربع. الأمر الذي يؤدي إلى إثبات يعمم بشكل مباشر # 49 ويتضمن تكوينات البراهين 46-48. انظر أدناه.

دليل # 50

مساحة المربع الكبير KLMN هي ب 2. ينقسم المربع إلى 4 مثلثات ورباعي واحد:

إنه ليس اشتقاقًا مثيرًا للاهتمام ، لكنه يوضح أنه عند مواجهة مهمة تبسيط التعابير الجبرية ، فإن الضرب في جميع المصطلحات لإزالة جميع الأقواس قد لا يكون أفضل استراتيجية. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، هناك استراتيجية أفضل تتجنب العمليات الحسابية المطولة تمامًا. بناءً على اقتراح دوغلاس روجرز ، أكمل كل من المثلثات الأربعة إلى مستطيل مناسب:

تقطع المستطيلات الأربعة دائمًا مربعًا بحجم أ ، بحيث تكون مساحتها الإجمالية ب 2 - أ 2. وهكذا يمكننا إنهاء الإثبات كما في البراهين الأخرى لهذه السلسلة:

دليل # 51

(و. جيه دوبس ، الجريدة الرياضية ، 7 (1913-1914) ، ص 168.)

هذا واحد يأتي من باب المجاملة دوغلاس روجرز من مجموعته الواسعة. كما هو الحال في الدليل رقم 2 ، يتم تدوير المثلث بمقدار 90 درجة حول أحد أركانه ، بحيث تكون الزاوية بين الوتر في موضعين صحيحة. ثم يتم تشريح الشكل الناتج للمنطقة ب 2 إلى مثلثين قائمين بأطوال أضلاع ومساحات ج 2/2 و

دليل # 52

هذا الدليل ، الذي اكتشفه طالب في المدرسة الثانوية ، جيمي ديليموس (مدرس الرياضيات ، 88 (1995) ، ص 79.) ، تم اقتباسه من قبل لاري هوين (مدرس الرياضيات ، 90 (1997) ، ص 438-441. )

من ناحية ، مساحة شبه المنحرف تساوي

معادلة الاثنين نحصل على أ 2 + ب 2 = ج 2.

والدليل وثيق الصلة بإثبات الرئيس غارفيلد.

دليل # 53

نشر لاري هوين أيضًا الدليل التالي (مدرس الرياضيات ، 88 (1995) ، ص 168.):

مد الضلع AC للمثلث القائم ABC إلى D بحيث يكون كما في الرسم التخطيطي. في D ارسم عموديًا على القرص المضغوط. في A ، ارسم منصفًا للزاوية BAD. دع الخطين يلتقيان في E. أخيرًا ، دع EF تكون متعامدة مع CF.

من خلال هذا البناء ، يكون للمثلثين ABE و ADE جانب AE ، لهما ضلعان آخران متساويان: بالإضافة إلى الزوايا التي تشكلها تلك الجوانب: لذلك ، يتطابق المثلثان ABE و ADE مع SAS. من هنا ، الزاوية ABE صحيحة.

ويترتب على ذلك أنه في المثلثات القائمة ، تضيف الزاويتان ABC و BEF مجموعتي ABC و EBF حتى 90 o. هكذا

المثلثان متشابهان ، لذا

ولكن ، EF = CD ، أو x = b + c ، والتي بالاقتران مع النسبة أعلاه تعطي

من ناحية أخرى ، y = u + a ، مما يؤدي إلى

والتي يمكن تبسيطها بسهولة إلى c 2 = a 2 + b 2.

دليل # 54k

لاحقًا (مدرس الرياضيات ، 90 (1997) ، ص 438-441.) ألقى لاري هوين نظرة ثانية على برهانه وأنتج دليلًا عامًا ، أو بالأحرى مجموعة كاملة من البراهين ذات معلمة واحدة ، والتي ، لقيم مختلفة من المعلمة ، بما في ذلك دليله الأقدم وكذلك رقم 41. أعرض أدناه متغيرًا مبسطًا مستوحى من عمل لاري.

لإعادة إنتاج النقطة الأساسية من البرهان # 53 ، أي وجود مثلث قائم الزاوية ABE وآخر BEF ، يكون الأخير مشابهًا لـ ABC ، ​​يمكننا ببساطة وضع BEF مع الأضلاع ka ، kb ، kc ، لبعض k ، كما هو موضح في الرسم التخطيطي . لكي يكون المخطط منطقيًا ، يجب علينا تقييد k بحيث (هذا يضمن أن D لا تقل عن A.)

الآن ، يمكن حساب مساحة المستطيل CDEF مباشرة كحاصل ضرب أضلاعه ka و (kb + a) ، أو كمجموع مناطق المثلثات BEF و ABE و ABC و ADE. هكذا نحصل

الذي بعد التبسيط يقلل إلى

وهي خطوة واحدة فقط أقل من اقتراح فيثاغورس.

يعمل الإثبات لأي قيمة ترضي k kb / a. على وجه الخصوص ، لأننا حصلنا على الدليل رقم 41. علاوة على ذلك ، يؤدي إلى الدليل رقم 53. بالطبع ، سنحصل على نفس النتيجة من خلال تمثيل منطقة شبه منحرف AEFB بطريقتين. لأن هذا من شأنه أن يؤدي إلى إثبات الرئيس غارفيلد.

من الواضح أن التعامل مع شبه منحرف أقل تقييدًا ويعمل مع أي قيمة موجبة لـ k.


نظرية فيثاغورس: طريق الحقيقة - التاريخ


قسم تعليم الرياضيات
J. ويلسون ، EMT 669

نظرية فيثاغورس

كانت نظرية فيثاغورس واحدة من أقدم النظريات المعروفة للحضارات القديمة. سميت هذه النظرية الشهيرة لعالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني ، فيثاغورس. أسس فيثاغورس مدرسة فيثاغورس للرياضيات في كورتونا ، وهو ميناء يوناني في جنوب إيطاليا. يُنسب إليه العديد من المساهمات في الرياضيات على الرغم من أن بعضها قد يكون في الواقع من عمل طلابه.

نظرية فيثاغورس هي أشهر مساهمة رياضية لفيثاغورس. وفقًا للأسطورة ، كان فيثاغورس سعيدًا جدًا عندما اكتشف النظرية التي قدمها كذبيحة من الثيران. الاكتشاف اللاحق أن الجذر التربيعي للعدد 2 غير منطقي ، وبالتالي لا يمكن التعبير عنه كنسبة من عددين صحيحين ، مما تسبب في قلق فيثاغورس وأتباعه بشكل كبير. كانوا مخلصين في اعتقادهم أن أي طولين هو مضاعفات متكاملة لبعض وحدات الطول. جرت محاولات عديدة لقمع معرفة أن الجذر التربيعي للعدد 2 غير منطقي. يقال حتى أن الرجل الذي أفشى السر قد غرق في البحر.

نظرية فيثاغورس هي بيان حول المثلثات التي تحتوي على زاوية قائمة. تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي:

& quot مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعات على الجوانب المتبقية. & quot

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن مجموع مساحات المربعات الحمراء ، المربعات A و B ، يساوي مساحة المربع الأزرق ، المربع C.

وهكذا ، فإن نظرية فيثاغورس التي ذكرت جبريًا هي:

لمثلث قائم أطوال أضلاعه أ ، ب ، ج ، حيث ج هو طول الوتر.

على الرغم من أن فيثاغورس يُنسب إليه الفضل في النظرية الشهيرة ، فمن المحتمل أن البابليين عرفوا نتيجة مثلثات معينة قبل فيثاغورس بألف عام على الأقل. من غير المعروف كيف أظهر الإغريق في الأصل إثبات نظرية فيثاغورس. إذا تم استخدام أساليب الكتاب الثاني من عناصر إقليدس ، فمن المحتمل أنه كان نوع تشريح من الإثبات مشابه لما يلي:

& quot مربّع كبير من الضلع a + b مقسم إلى مربعين أصغر من الضلع a و b على التوالي ، ويمكن تقسيم مستطيلين متساويين لهما أضلاع a و b كل من هذين المستطيلين إلى مثلثين متساويين أيمن من خلال رسم القطر c. يمكن ترتيب المثلثات الأربعة داخل مربع آخر من الضلع أ + ب كما هو موضح في الأشكال.

يمكن إظهار مساحة المربع بطريقتين مختلفتين:

1. كمجموع مساحة المستطيلين والمربعات:


2. كمجموع مساحات المربع والمثلثات الأربعة:

الآن ، جعل تعبيري الجانب الأيمن في هذه المعادلتين متساويين ، نحصل على


إذن ، المربع في ج يساوي مجموع مربعي أ وب. (بيرتون 1991)

هناك العديد من البراهين الأخرى على نظرية فيثاغورس. أحدهما جاء من الحضارة الصينية المعاصرة الموجودة في أقدم نص صيني موجود يحتوي على نظريات رياضية رسمية ، والحساب الكلاسيكي لجنومان والمسارات الدائرية للسماء.

تم تضمين إثبات نظرية فيثاغورس المستوحى من شخصية في هذا الكتاب في كتاب Vijaganita ، (حسابات الجذر) ، من قبل عالم الرياضيات الهندوسي بهاسكارا. كان تفسير باسكارا الوحيد لإثباته ، ببساطة ، & quotBehold & quot.

أدت هذه البراهين والاكتشاف الهندسي المحيط بنظرية فيثاغورس إلى واحدة من أقدم المشاكل في نظرية الأعداد المعروفة باسم مشكلة بايثاغورس.

أوجد كل المثلثات القائمة التي يكون جوانبها ذات أطوال متكاملة ، وبالتالي إيجاد جميع الحلول في الأعداد الصحيحة الموجبة لمعادلة فيثاغورس:

الأعداد الصحيحة الثلاثة (x ، y ، z) التي تحقق هذه المعادلة تسمى ثلاثية فيثاغورس.


ظهرت الصيغة التي ستولد كل ثلاثية فيثاغورس لأول مرة في الكتاب العاشر من عناصر إقليدس:


حيث n و m أعداد صحيحة موجبة من التكافؤ المعاكس و m & gtn.

في كتابه Arithmetica ، أكد Diophantus أنه يمكنه الحصول على مثلثات قائمة باستخدام هذه الصيغة على الرغم من أنه وصل إليها تحت خط مختلف من التفكير.

يمكن تقديم نظرية فيثاغورس للطلاب خلال سنوات الدراسة المتوسطة. تزداد أهمية هذه النظرية خلال سنوات الدراسة الثانوية. لا يكفي مجرد ذكر الصيغة الجبرية لنظرية فيثاغورس. يحتاج الطلاب إلى رؤية الروابط الهندسية أيضًا. يمكن إثراء تعليم وتعلم نظرية فيثاغورس من خلال استخدام الورق النقطي ، والألواح الجغرافية ، وطي الورق ، وتكنولوجيا الكمبيوتر ، بالإضافة إلى العديد من المواد التعليمية الأخرى. من خلال استخدام الوسائل التعليمية والموارد التعليمية الأخرى ، يمكن أن تعني نظرية فيثاغورس للطلاب أكثر بكثير من مجرد

وإدخال الأرقام في الصيغة.

فيما يلي مجموعة متنوعة من البراهين على نظرية فيثاغورس بما في ذلك واحدة من إقليدس. يمكن لهذه البراهين ، جنبًا إلى جنب مع وسائل التلاعب والتكنولوجيا ، تحسين فهم الطلاب لنظرية فيثاغورس بشكل كبير.

فيما يلي تلخيص للإثبات بواسطة إقليدس ، أحد أشهر علماء الرياضيات. يمكن العثور على هذا الدليل في الكتاب الأول من عناصر إقليدس.

اقتراح: في المثلثات القائمة الزاوية ، يكون المربع الموجود على الوتر مساويًا لمجموع المربعات على الساقين.

بدأ إقليدس بتكوين فيثاغورس الموضح أعلاه في الشكل 2. ثم قام ببناء خط عمودي من C إلى الجزء DJ على المربع الموجود على الوتر. النقطتان H و G هما تقاطعات هذا العمودي مع جوانب المربع على الوتر. تقع على طول ارتفاع المثلث الأيمن ABC. انظر الشكل 3.

بعد ذلك ، أظهر إقليدس أن مساحة المستطيل HBDG تساوي مساحة المربع على BC وأن مساحة المستطيل HAJG تساوي مساحة المربع على AC. لقد أثبت هذه المساواة باستخدام مفهوم التشابه. المثلثات ABC و AHC و CHB متشابهة. مساحة المستطيل HAJG هي (HA) (AJ) وبما أن AJ = AB ، فإن المنطقة هي أيضًا (HA) (AB). يعني تشابه المثلثات ABC و AHC

أو ، كما سيتم إثباته ، مساحة المستطيل HAJG هي نفس مساحة المربع على الجانب AC. بالطريقة نفسها ، يتشابه المثلثان ABC و CHG. وبالتالي

نظرًا لأن مجموع مساحات المستطيلين هو مساحة المربع على الوتر ، فإن هذا يكمل الإثبات.

كان إقليدس حريصًا على وضع هذه النتيجة في عمله في أسرع وقت ممكن. ومع ذلك ، نظرًا لأن عمله في التشابه لم يكن حتى الكتابين الخامس والسادس ، كان من الضروري بالنسبة له التوصل إلى طريقة أخرى لإثبات نظرية فيثاغورس. وهكذا ، استخدم النتيجة التي مفادها أن متوازيات الأضلاع هي ضعف المثلثات التي لها نفس القاعدة وبين نفس المتوازيات. ارسم CJ و BE.

مساحة المستطيل AHGJ هي ضعف مساحة المثلث JAC ، ومساحة مربع ACLE هي مثلث مزدوج BAE. يتطابق المثلثان مع SAS. تتبع نفس النتيجة بطريقة مماثلة بالنسبة للمستطيل والمربع الآخر. (كاتز ، 1993)

انقر هنا للحصول على رسم متحرك لنظام الأفضليات المعمم لتوضيح هذا الدليل.
يمكن رؤية البراهين الثلاثة التالية بسهولة أكبر على نظرية فيثاغورس وستكون مثالية لطلاب الرياضيات بالمدارس الثانوية. في الواقع ، هذه أدلة على أن الطلاب يمكن أن يكونوا قادرين على بناء أنفسهم في مرحلة ما.
يبدأ الدليل الأول بمستطيل مقسم إلى ثلاثة مثلثات ، يحتوي كل منها على زاوية قائمة. يمكن رؤية هذا الدليل من خلال استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر ، أو بشيء بسيط مثل بطاقة فهرس 3 × 5 مقطعة إلى مثلثات قائمة.

يمكن ملاحظة أن المثلثين 2 (باللون الأخضر) و 1 (باللون الأحمر) سيتداخلان تمامًا مع المثلث 3 (باللون الأزرق). الآن ، يمكننا تقديم دليل على نظرية فيثاغورس باستخدام نفس المثلثات.

أولاً - قارن بين المثلثين 1 و 3.

الزاويتان E و D ، على التوالي ، هما الزاويتان القائمة في هذين المثلثين. بمقارنة أوجه التشابه بينهما ، لدينا

ومن الشكل 6 BC = AD. وبالتالي،

عن طريق الضرب التبادلي ، نحصل على:

II. قارن بين المثلثين 2 و 3:

بمقارنة أوجه التشابه بين المثلثين 2 و 3 نحصل على:

من الشكل 4 ، AB = CD. عن طريق الاستبدال ،

أخيرًا ، بإضافة المعادلتين 1 و 2 ، نحصل على:

لقد أثبتنا نظرية فيثاغورس.

الدليل التالي هو دليل آخر على نظرية فيثاغورس يبدأ بمستطيل. يبدأ ببناء CADE المستطيل مع BA = DA. بعد ذلك ، نبني منصف الزاوية لـ & ltBAD ونتركه يتقاطع مع ED عند النقطة F. وهكذا ، فإن & ltBAF يتوافق مع & ltDAF و AF = AF و BA = DA. لذلك ، بواسطة SAS ، المثلث BAF = مثلث DAF. بما أن & ltADF هي زاوية قائمة ، و ltABF هي أيضًا زاوية قائمة.

بعد ذلك ، بما أن m & ltEBF + m & ltABC + m & ltABF = 180 درجة و m & ltABF = 90 درجة ، فإن & ltEBF و & ltABC مكملان. وهكذا ، m & ltEBF + m & ltABC = 90 درجة. نحن نعلم ذلك أيضًا
m & ltBAC + m & ltABC + m & ltACB = 180 درجة. بما أن m & ltACB = 90 درجة ، m & ltBAC + m & ltABC = 90 درجة. لذلك ، m & ltEBF + m & ltABC = m & ltBAC + m & ltABC و m & ltBAC = m & ltEBF.

من خلال نظرية التشابه AA ، يشبه المثلث EBF المثلث CAB.

الآن ، دع k تكون نسبة التشابه بين المثلثات EBF و CAB.

وبالتالي ، فإن المثلث EBF له جوانب بأطوال ka و kb و kc. بما أن FB = FD ، FD = kc. أيضًا ، بما أن الأضلاع المتقابلة من المستطيل متطابقتان ، فإن b = ka + kc و c = a + kb. من خلال حل k ، لدينا

وقد أكملنا الإثبات.

الدليل التالي لنظرية فيثاغورس هو الذي يبدأ بمثلث قائم الزاوية. في الشكل التالي ، المثلث ABC مثلث قائم الزاوية. الزاوية اليمنى هي الزاوية C.

بعد ذلك ، ارسم القرص المضغوط بشكل عمودي على AB كما هو موضح في الشكل التالي.

قارن المثلثات 1 و 3:

المثلث 1 (الأخضر) هو المثلث الأيمن الذي بدأناه قبل إنشاء القرص المضغوط. المثلث 3 (أحمر) هو أحد المثلثين اللذين شكلهما بناء القرص المضغوط.


الشكل 13
مثلث 1. مثلث 3.

بمقارنة هذين المثلثين ، يمكننا ملاحظة ذلك

قارن بين المثلثين 1 و 2:

المثلث 1 (أخضر) هو نفسه أعلاه. المثلث 2 (الأزرق) هو المثلث الآخر المتكون من إنشاء قرص مضغوط. الزاوية اليمنى هي الزاوية D.


الشكل 14
مثلث 1. مثلث 2.

بمقارنة هذين المثلثين ، نرى ذلك

بإضافة المعادلتين 3 و 4 نحصل على:

من الشكلين 11 و 12 ، مع القرص المضغوط ، لدينا ذلك (p + q) = c. عن طريق الاستبدال ، نحصل عليه

الدليل التالي لنظرية فيثاغورس الذي سيتم تقديمه هو الدليل الذي سيتم فيه استخدام شبه منحرف.

من خلال البناء الذي تم استخدامه لتشكيل هذا شبه المنحرف ، فإن جميع المثلثات الستة الموجودة في هذا شبه المنحرف هي مثلثات قائمة. هكذا،

مساحة شبه منحرف = مجموع مساحة المثلثات الستة

وباستخدام الصيغ الخاصة بالمنطقة ، نحصل على:

لقد أكملنا إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام شبه المنحرف.


الدليل التالي لنظرية فيثاغورس الذي سأقدمه هو الدليل الذي يمكن تدريسه وإثباته باستخدام الألغاز. يمكن إنشاء هذه الألغاز باستخدام تكوين فيثاغورس ثم تقسيمها إلى أشكال مختلفة.

قبل تقديم الدليل ، من المهم أن يتم استكشاف الشكل التالي لأنه يتعلق مباشرة بالدليل.

في هذا التكوين فيثاغورس ، تم تقسيم المربع الموجود على الوتر إلى 4 مثلثات قائمة الزاوية ومربع واحد ، MNPQ ، في المركز. منذ MN = AN - AM = a - b. كل جانب من مربع MNPQ له طول a - b. هذا يعطي ما يلي:

مساحة المربع على الوتر = مجموع مساحات المثلثات الأربعة ومساحة المربع MNPQ

كما هو مذكور أعلاه ، يمكن استكشاف هذا الدليل على نظرية فيثاغورس بشكل أكبر وإثباته باستخدام الألغاز المكونة من تكوين فيثاغورس. يمكن للطلاب عمل هذه الألغاز ثم استخدام القطع من المربعات الموجودة على أرجل المثلث الأيمن لتغطية المربع الموجود على الوتر. يمكن أن يكون هذا اتصالًا رائعًا لأنه نشاط & quot؛ عمليات & quot. يمكن للطلاب بعد ذلك استخدام اللغز لإثبات نظرية فيثاغورس بأنفسهم.


لإنشاء هذا اللغز ، انسخ المربع على BC مرتين ، مرة واحدة أسفل المربع على AC ومرة ​​واحدة على يمين المربع على AC كما هو موضح في الشكل 17.

المثلث CDE مطابق لمثلث ACB بساق الساق.

في المثلث ACB ، m & ltACB = 90 وأطوال الأضلاع أ ، ب ، ج.

في المثلث CDE ، m & ltCDE = 90 وأطوال الأضلاع أ ، ب ، ج.

المثلث EGH يطابق المثلث ACB بالساق. طول m & ltEGH = 90 وجوانبه أ و ج. بما أن EF = b-a = AI ، EG = b. وبالتالي فإن القطرين CE و EH كلاهما يساوي c.


PYTHAGORAS ، العدد غير المنطقي ، ونظرية PYTHAGORAS

فيثاغورس عالم رياضيات يوناني في نفس الوقت كان فيلسوفًا قديمًا للقرن السادس. له تأثير كبير على العلم خاصة في الرياضيات. ومن أشهر أسباب حذفه نظرية فيثاغورس التي سمعها الناس تقريبًا. قالت نظرية فيثاغورس أن وتر المثلث القائم الزاوية هو مجموع مربع الضلع الثاني الآخر من المثلث القائم. بسبب إغفاله في الرياضيات ، أطلق عليه أيضًا اسم & # 8220 والد الرقم & # 8221.

قال أحد التلاميذ الذين سموا بـ Hippasus أن & # 87302 وهو وتر المثلث متساوي الساقين الذي يبلغ طول كل قدم فيه 1 هو العدد غير النسبي. ومع ذلك ، قُتل هيباسوس بعد ذلك لأن فيثاغورس لا يستطيع أن يجادل في الأدلة التي أثارها هيباسوس.

Hippasus هو تلميذ فيثاغورس قادم من Metapontum. وهو أيضًا عالم رياضيات في نفس الوقت الفيلسوف اليوناني القديم عن القرن السادس. لقد اعتبر مخترع الأعداد غير النسبية ، خاصة إثبات أن الجذر التربيعي للعدد 2 & # 87302 هو عدد غير نسبي. ومن المفارقات أن الاختراع تسبب بالضبط في الوفاة. يجادل فيثاغورس بوجود عدد غير نسبي. افترض فيثاغورس والتلاميذ الآخرون أن كل nmber عدد نسبي ولا يوجد عدد غير نسبي. يثبت Hippasus هذه النظرية باستخدام Reductio ad absurdum (إثبات بالتناقض) لإثبات الرقم أنه عدد غير منطقي. لا يمكن لفيثاغورس أن يجادل في هذا البيان ويفترض أن هيباسوس هو تابع تعليمي مخطئ ، لذا فقد قرر أن يبتلع هيباسوس.

الرقم غير المنطقي هو رقم حقيقي لا يمكن تقسيمه (نتيجة لأنه لم يكف أبدًا). في هذه الحالة ، لا يمكن التعبير عن الرقم غير النسبي كـ a / b ، مع a و b كرقم صحيح ، و b على عكس null. لذا فإن العدد غير النسبي ليس عددًا منطقيًا. مثال رقم غير نسبي مثل π ، & # 87302 ، ورقم e. رقم Phi (π) الذي تم التعرف عليه خلال الوقت ، في الواقع غير دقيق 3،14 ولكن 3،1415926535897932 & # 8230. أيضًا & # 87302 الرقم الذي إذا قمنا بصياغته يصبح 1،41421356237309504880 & # 8230 ورقم e هو 2،71828182 & # 8230.

يمكن إثبات العدد غير المنطقي باستخدام اختزال الإعلان السخيف أو باللغة الإنجليزية يسمى الإثبات بالتناقض. إنها حجة منطقية بدأت بافتراض ، ثم من الافتراض وجدت نتيجة سخيفة ، غير منطقية ، أو متناقضة ، لذا فإن استنتاج الافتراض سيكون خاطئًا ذا قيمة وسيصبح الإنكار ذا قيمة صحيحة. بيان رياضي يتم إثباته في وقت ما عن طريق اختزال الإعلان السخيف الذي يكون من خلال افتراض الإنكار (النفي) من العبارة التي سيتم إثباتها ، ثم من الافتراض انحطاط التناقض. عندما يمكن الوصول إلى التناقض منطقيًا ، يكون الافتراض قد ثبت خطأه ، بحيث تكون العبارة صحيحة.

إثبات التناقض أو الاختزال ليس حجة خاطئة ، ولكن إذا تم فعلاً فستكون حجة صحيحة. إذا أسفر الإثبات عن طريق التناقض عن خطأ ، فإن الخطأ يكمن في تدهور العملية للتناقض ، وليس في بعض الأحيان من الإثبات.

المثال الكلاسيكي للإثبات بالتناقض في العصر اليوناني القديم هو إثبات أن الجذر التربيعي لاثنين هو عدد غير نسبي (لا يمكن التعبير عنه بمقارنة عدد صحيح). يمكن إثبات هذه العبارة من خلال الافتراض على العكس من ذلك أن الرقم 2 هو رقم منطقي ، بحيث يمكن التعبير عنه كمقارنة بين عدد صحيح أ / ب في أبسط جزء. لكن إذا كان a / b = & # 87302 ، إذن a2 = 2b2. هذا يعني أن a2 هو رقم زوجي. نظرًا لأن المربع من الرقم الفردي ليس من المحتمل أن يكون زوجيًا ، فإن الرقم زوجي. نظرًا لأن a / b هو الكسر الأبسط ، فمن المؤكد أن b شاذ (لأنه لا يزال من الممكن جعل الكسر من العدد الزوجي / الزوجي معتدلاً). ولكن نظرًا لأن a عدد زوجي (افترض أن 2r = a ، يعني a2 = 4r2) هو رقم أضعاف 4 ، و b2 هو رقم أضعاف 2 (زوجي). هذا يعني أن b هو أيضًا عدد زوجي ، وهذا تناقض مع الاستنتاج قبل كل ذلك b بالتأكيد شاذ. لأن الافتراض المبكر بأن الرقم 2 هو رقم منطقي ينتج عنه التناقض ، والافتراض خاطئ بالتأكيد ، والرفض (أن 2 غير منطقي) هو بيان صحيح.

واحدة من إغفالات فيثاغورس التي تحظى بشعبية كبيرة هي نظرية فيثاغورس. تسمى النظرية باسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني القديم ، وهو فيثاغورس. فيثاغورس ليس مخترع النظرية ولكنه أول من أثبت صحة النظرية لذلك قدم التقدير مع إعطاء اسم للنظرية مثل اسمه.

تعبر هذه النظرية عن أن تلخيص المربعات العريضة عند القدمين للمثلث القائم الزاوية يساوي بشكل واسع المربعات في الوتر. المثلث القائم الزاوية هو مثلث بزاوية قائمة (90o0) ، والقدمان هما ضلعان لهما شكلان مشطوفان الزاويان ، والوتر هو الضلع الثالث الذي يتعامل مع الزاوية القائمة. صيغة هذه النظرية هي a2 + b2 = c2 ، حيث a و b هما ضلعي المثلث القائم ، و c هو الوتر.


تطبيق مفيد: جرب أي شكل

استخدمنا المثلثات في الشكل ، أبسط شكل ثنائي الأبعاد. لكن الجزء المستقيم يمكن أن ينتمي إلى أي شكل. خذ الدوائر ، على سبيل المثال:

الآن ماذا يحدث عندما نجمعهم معًا؟

لقد خمنت ذلك: دائرة نصف قطرها 5 = دائرة نصف قطرها 4 + دائرة نصف قطرها 3.

بريتي بريتي ، إيه؟ يمكننا ضرب نظرية فيثاغورس في عامل المساحة (باي ، في هذه الحالة) والتوصل إلى علاقة لأي شكل.

تذكر أن القطعة المستقيمة يمكن أن تكون أي جزء من الشكل. كان بإمكاننا اختيار نصف قطر الدائرة أو قطرها أو محيطها - سيكون هناك عامل مساحة مختلف ، لكن العلاقة 3-4-5 ستظل قائمة.

لذا ، سواء كنت تضيف البيتزا أو أقنعة ريتشارد نيكسون ، فإن نظرية فيثاغورس تساعدك على ربط مناطق أي أشكال مماثلة. الآن هذا شيء لم يعلموك إياه في المدرسة الابتدائية.


تجعل نظرية فيثاغورس البناء و GPS ممكنًا

حسنًا ، حان وقت اختبار سريع. لديك مثلث قائم الزاوية - أي واحد حيث يلتقي ضلعه معًا ليشكل زاوية 90 درجة. أنت تعرف طول هذين الضلعين. كيف تعرف طول الضلع المتبقي؟

هذا سهل ، بشرط أن تكون قد درست الهندسة في المدرسة الثانوية وأن تعرف نظرية فيثاغورس ، وهي عبارة رياضية عمرها آلاف السنين.

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية ، فإن مجموع مربعي الضلعين اللذين يشكلان الزاوية القائمة يساوي مربع الضلع الثالث الأطول ، والذي يسمى الوتر. نتيجة لذلك ، يمكنك تحديد طول الوتر بالمعادلة أ 2 + ب 2 = ج 2 ، بحيث أ و ب تمثل جانبي الزاوية القائمة و ج هو الجانب الطويل.

من كان فيثاغورس؟

خدعة جميلة ، أليس كذلك؟ لكن الرجل الذي سميت خدعة الرياضيات هذه باسمه رائع تقريبًا. كان فيثاغورس ، المفكر اليوناني القديم الذي ولد في جزيرة ساموس وعاش من 570 إلى 490 قبل الميلاد ، شخصية ثلاثية - فيلسوف وعالم رياضيات وزعيم عبادة صوفية متساوية. في حياته ، لم يكن فيثاغورس معروفًا كثيرًا بحل طول الوتر كما كان لإيمانه بالتناسخ والالتزام بنمط حياة زاهد أكد على اتباع نظام غذائي نباتي صارم ، والالتزام بالطقوس الدينية والكثير من الانضباط الذاتي الذي علمه لأتباعه.

يصفه كاتب سيرة فيثاغورس كريستوف ريدفيغ بأنه شخصية طويلة ووسامة وجذابة ، وقد تعززت هالته بملابسه الغريبة - رداء أبيض وسروال وإكليل ذهبي على رأسه. انتشرت شائعات غريبة حوله - أنه يمكن أن يصنع المعجزات ، وأن لديه ساقًا اصطناعية ذهبية مخبأة تحت ملابسه وأنه يمتلك القدرة على التواجد في مكانين في وقت واحد.

أسس فيثاغورس مدرسة بالقرب مما يُعرف الآن بمدينة كروتوني الساحلية في جنوب إيطاليا ، والتي سُميت بنصف دائرة فيثاغورس. المتابعون ، الذين أقسموا على قانون السرية ، تعلموا التفكير في الأرقام بطريقة مشابهة للصوفية اليهودية لكاب الله. في فلسفة فيثاغورس ، كان لكل رقم معنى إلهي ، وقد أظهر الجمع بينهما حقيقة أكبر.

بسمعة زائدية كهذه ، فلا عجب أن فيثاغورس كان له الفضل في ابتكار واحدة من أشهر النظريات على الإطلاق ، على الرغم من أنه لم يكن في الواقع أول من توصل إلى هذا المفهوم. ضربه علماء الرياضيات الصينيون والبابليون عليها بألف عام.

& quot ما لدينا هو دليل على معرفتهم لعلاقة فيثاغورس من خلال أمثلة محددة ، & quot & quot تم العثور على لوح بابلي كامل يعرض ثلاثة أرقام مختلفة تستوفي الشرط: أ 2 + ب 2 = ج 2 . & مثل

كيف تكون نظرية فيثاغورس مفيدة اليوم؟

نظرية فيثاغورس ليست مجرد تمرين رياضي مثير للاهتمام. يتم استخدامه في مجموعة واسعة من المجالات ، من البناء والتصنيع إلى الملاحة.

كما يشرح ألين ، فإن أحد الاستخدامات الكلاسيكية لنظرية فيثاغورس هو وضع أسس المباني. & quot كما ترى ، لإنشاء أساس مستطيل ، على سبيل المثال ، لمعبد ، تحتاج إلى عمل زوايا قائمة. لكن كيف يمكنك فعل ذلك؟ عن طريق مقلة العين؟ هذا لن ينجح مع هيكل كبير. ولكن ، عندما يكون لديك الطول والعرض ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لعمل زاوية صحيحة دقيقة لأي دقة. & quot

أبعد من ذلك ، & quot؛ هذه النظرية وتلك المتعلقة بها أعطتنا نظام القياس بالكامل ، & quot؛ يقول ألين. & quot فهو يتيح للطيارين الإبحار في الأجواء العاصفة ، ويتيح للسفن تحديد مسارهم. جميع قياسات GPS ممكنة بسبب هذه النظرية. & quot

في الملاحة ، توفر نظرية فيثاغورس لملاح السفينة طريقة لحساب المسافة إلى نقطة في المحيط ، على سبيل المثال ، 300 ميل شمالًا و 400 ميلًا غربًا (480 كيلومترًا شمالًا و 640 كيلومترًا غربًا). إنه مفيد أيضًا لرسامي الخرائط ، الذين يستخدمونه لحساب شدة انحدار التلال والجبال.

& quot هذه النظرية مهمة في جميع أشكال الهندسة ، بما في ذلك الهندسة الصلبة ، & quot ؛ يتابع ألين. & quotIt هو أيضًا أساسي في فروع الرياضيات الأخرى ، والكثير من الفيزياء والجيولوجيا وجميع الهندسة الميكانيكية وهندسة الطيران. يستخدمه النجارون وكذلك الميكانيكيون. عندما يكون لديك زوايا ، وتحتاج إلى قياسات ، فأنت بحاجة إلى هذه النظرية. & quot

كانت إحدى التجارب التكوينية في حياة ألبرت أينشتاين هي كتابة برهانه الرياضي الخاص لنظرية فيثاغورس في سن الثانية عشرة.


شاهد الفيديو: نظرية فيثاغورس (أغسطس 2022).